专题6.2 数量积及最值（范围）问题（原卷版）

专题6.2数量积及最值（范围）问题题型一求数量积题型二求两个向量的夹角题型三求投影向量题型四垂直关系的判断及应用题型五向量的模题型六数量积的最值、范围问题（基底法）题型七数量积的最值、范围问题（坐标法）题型八数量积的最值、范围问题（数形结合法）题型一求数量积例1．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量1,2ar，3,4b，5,cm（Rm），则2abc（）A．5B．5C．5mD．5m例2．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知单位向量a，b满足122abab，则ab_______．练习1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知向量2,1a，1,2b则ab______．练习2．（2023·全国·高三专题练习）矩形ABCD中．||6AB，||4AD．若点M，N满足3BMMC，2DNNC，则AMNM（）A．20B．15C．9D．6练习3．（2023春·山西大同·高二校考阶段练习）已知O是ABC的外心，4AB=uuur，2AC，则AOABAC（）A．10B．9C．8D．6练习4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形EFGH中，2EFEH，则HGFH__________.练习5．（2023·广东汕头·统考三模）在ABC中，2AB，1AC，60BAC，12CDBC，求ADCD_________.题型二求两个向量的夹角例3．（2023春·广东深圳·高一深圳市建文外国语学校校考期中）已知平面向量3,4,9,,4,abxcy且//,abac(1)求向量b与向量c的坐标；(2)若向量2,mabnac，求向量m与向量n的夹角例4．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知a，b是单位向量，且13,22ab，则向量a与ba的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6练习6．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知向量,1am，1,2b，2,3c.(1)若ab与c垂直，求实数m的值；(2)求cos,bc的值.练习7．（2023·山东烟台·统考二模）已知向量(1,3),||2,|2|25abab，则a与b夹角的大小为_____________．练习8．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知2a，1b，a与b的夹角为45，求使向量2ab与3ab的夹角是锐角，则的取值范围___________.练习9．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知单位向量a，b满足3aab，则a，b夹角的余弦值为__________.练习10．（2023春·浙江温州·高三乐清市知临中学校考期中）设2,0a，1,3b.(1)求,ab；(2)若,Rmxaybxy，且23m，m与b的夹角为π6，求x，y的值.题型三求投影向量例5．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知2||1,||2,3abab，则向量a在向量b上的投影向量为___________.例6．（2023春·江苏泰州·高一江苏省口岸中学校考阶段练习）已知向量(1,1)a，(1,0)b，则a在b上的投影向量的模为（）A．2B．3C．1D．33练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a，b满足(2,4)a，5ab，则b在a上的投影向量c______.练习12．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若向量a，b满足4,3a，5,12b，则向量b在向量a上的投影向量为（）A．6448,6565B．6448,2525C．6448,2525D．6448,6565练习13．（2023·云南保山·统考二模）已知向量a，b满足0ab，则ab在a方向上的投影向量为（）A．arB．2aC．2bD．a练习14．（2023春·全国·高三专题练习）已知2ab，若a与b的夹角为120°，则2ba在a上的投影向量为（）A．33aB．32aC．12aD．3a练习15．（2023·湖南·校联考模拟预测）在ABC中，已知3AC，向量AB在向量AC上的投影向量为ACACuuuruuur，点D是BC边上靠近C的三等分点，则ADAC（）A．3B．6C．7D．9题型四垂直关系的判断及应用例7．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知向量a，b满足2a，3b，且3abb，则cos,ab_____．例8．（2023·全国·高三专题练习）非零向量(cos(),sin)a，(1,sin)b，若ab，则tantan______.练习16．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）平面向量,2,,4ambmm，若ab，且ab，则m（）A．2B．-2C．4D．-4练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a，b，c，其中a，b为单位向量，且ab，若c______，则2acbc.注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.练习18．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点1,2A，点2,4B，点P在坐标轴上，且APB为直角，这样的点P有______个．练习19．（2023春·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）在ABC中，若非零向量AB与AC满足0ABACBCABAC，0ABAC，则ABC为（）A．三边均不相等的三角形B．等腰直角三角形C．底边和腰不相等的等腰三角形D．等边三角形练习20．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考期中）已知向量(1,2)a，(3,2)b．(1)求2ab；(2)已知10c，且(2)acc，求向量a与向量c的夹角．题型五向量的模例9．（江西省2023届高三高考适应性大练兵联考数学（理）试题）已知单位向量a，b满足22abb，则ab__________．例10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知向量,ab满足||1,||2,(22,1)abab，则|3|ab（）A．22B．15C．32D．5练习21．（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期中）若非零向量,ab满足||2|||3|abab，则,ab夹角的余弦值为________．练习22．（2023·湖北·统考模拟预测）已知向量1,2,,2abm，若|2||2|abab，则b__________.练习23．（2023·北京·人大附中校考三模）已知向量1,23,abx，a与ab共线，则ab=（）A．6B．20C．25D．5练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知向量mn、是非零向量，λ、R，则“mn”是“0mnmn”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习25．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知向量31,22a，2b，26ab，ab__________；b在a上的投影向量的坐标为__________．题型六数量积的最值、范围问题（基底法）例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，ABBC，90B??，42AC，D为AC的中点，在平面ABC中，将线段AC绕点D旋转得到线段EF．设M为线段AB上的点，则MEMF的最小值为______．例12．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）在ABC中，2CA，3AB，2π3BAC，D为BC的三等分点（靠近C点）．(1)求ADBC的值；(2)若点P满足CPCA，求PBPC的最小值，并求此时的．练习26．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知平行四边形ABCD的面积为93，23πBAD，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且56AFABAD，则__________，AF的最小值为___________.练习27．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆M为ABC的外接圆，5AB，7AC，N为边BC的中点，则ANAM______.练习28．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且2AB，1MCMDCD．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则NANB的取值范围是（）A．1,04B．3,04C．1,14D．3,04练习29．（2023春·全国·高三专题练习）已知直角梯形1,90,//,1,2ABCDAABCDADDCABP是BC边上的一点，则APPC的取值范围为（）A．1,1B．0,2C．22,D．2,0练习30．（2023·全国·高一专题练习）在直角三角形ABC中，90,BP在线段AC上，3,1ABBC，则3BPAP的最小值为___________.题型七数量积的最值、范围问题（坐标法）例13．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知ABC中，π3A，2AC，5AB，点P为边AB上的动点，则PBPC的最小值为_________.例14．（2023·天津滨海新·统考三模）在平面四边形ABCD中，23AB，6AD，向量AB在向量AD上的投影向量为12AD，则BAD________；若13BCAD，点E为线段BD上的动点，则CEAE的最小值为________．练习31．（2023·上海·高三专题练习）如图．在直角梯形ABCD中．9021ADBCABCADBC∥，，，，点P是腰AB上的动点，则|2|PCPD的最小值为____________．练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若,RAPABAD，则的最大值为（）A．3B．5C．52D．2练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形ABCD中，//ABCD，且2222ABADCDCB，点P在线段BC上运动，若APxAByAD，则22xy的最小值为（）A．54B．45C．1316D．134练习34．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，,ADBCABBC∥，1,2,ADBCP是线段AB上的动点，则4PCPD的最小值为__________.练习35．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知正六边形ABCDEF的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则PAPCPE的最小值为____________．题型八数量积的最值、范围问题（数形结合法）例15．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期中）已知平面向量a，b，c满足1a，2b，3c，且abac，则bc的最大值为________．例16．（2023·上海·高三专题练习）设x、Ry，若向量a，b，c满足(,1)ax，(2,)byr，(1,1)c，且向量ab与c互相平行，则||2||ab的最小值为______．练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若,RAPABAD，则的最大值为（）A．3B．5C．52D．2练习33．（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，梯形ABCD中，//ABCD，且2222ABADCDCB