专题6.7 平面向量、复数和解三角形综合练（解析版）

专题6.7平面向量、复数和解三角形综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023春·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考期中）已知向量,,abc均为任意向量，m为任意实数，则下列等式不一定成立的是（）A．()()abcabcB．()abcacbcC．()mabmambD．()()abcabc【答案】D【分析】利用向量加法结合律判断A；利用数量积运算律判断B；利用数乘向量分配律判断C；利用数量积的意义判断D作答.【详解】对于A，由向量加法结合律知，()()abcabc成立，A正确；对于B，由数量积的分配律知，()abcacbc成立，B正确；对于C，由数乘向量的分配律知，()mabmamb成立，C正确；对于D，()abc表示一个与c共线的向量，()abc表示一个与a共线的向量，而,ac是任意的，因此()abc与()abc不一定相等，D错误.故选：D2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知复数z=i(2+i)，则z的共轭复数为（）A．12iB．2iC．12iD．12i【答案】C【分析】利用复数乘法计算法则计算即可.【详解】2z=i(2+i)=2ii12i，所以z的共轭复数为z12i故选：C3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知24ab，2(5,2)ab，若a与b模相等，则ar=（）.A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】利用坐标求出2ab的模长，进而根据已知条件可以得到一个关于ar的方程，问题即可得到解决.【详解】因为2(5,2)ab，所以229ab，故22224429ababab，而又已知24ab，且ab，所以2249629aa，解得5a.故选：C4．（2023春·吉林·高三东北师大附中校考期中）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若222abbc，sin3sinCB，则A（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【答案】B【分析】根据题意，利用正弦定理求得3cb，再利用余弦定理求得1cos2A，即可求解.【详解】因为sin3sinCB，由正弦定理得3cb，又因为222abbc，可得227ab，又由余弦定理，可得222222(3)71cos2232bcabbbAbcbb，因为(0,π)A，所以π3A.故选：B.5．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）在ABC中，120,BACAD平分,3BACAD，则2ACAB的最小值为（）A．632B．632C．962D．962【答案】C【分析】记,ABcACb，在ABD△中，2293BDcc，在ACD中，2293CDbb，由AD平分BAC，得到cb或3()bcbc，当cb时，求得218ACAB；当3()bcbc时，得1113cb，再由1123(2)ACABbccb，结合基本不等式求得结果．【详解】如图，记,ABcACb，在ABD△中，3,60,ADBADABc，则2221923932BDcccc，在ACD中，3,60,ADCADACb，则2221923932CDbbbb,∵AD平分BAC，∴BDABcCDACb，∴2222229393BDcccCDbbb，∴22229393cbbbcc，∴22229393cbcbbc∴222233cbcbbc，∴222230cbbcbc∴3()()()0cbcbbccb，∴()[3()]0cbcbbc，∴cb或3()bcbc，当cb时，ABC为等腰三角形，∴ADBC，6cos60ADcb，∴2218ACABbc；当3()bcbc时，13bcbc，即1113cb，∴11223(2)ACABbcbccb233bccb2323bccb962，当且仅当2bccb，即2cb时，等号成立，∵96218，∴2ACAB的最小值为962.故选：C.6．（四川省2023届名校联考高考仿真测试（四）文科数学试题）已知向量1,1a，cos,sin0πb，则下列命题不正确的是（）A．1bB．若//ab，则tan1C．存在唯一的使得ababD．ab的最大值为5【答案】D【分析】由向量模的计算公式，可判定A正确；由向量共线的坐标表示，可判定B正确；根据向量的数量积的运算公式，求得0ab，得到tan1，可判定C正确；根据向量的运算法则，化简得到2π322sin()4ab，求得ab的最大值，可判定D错误.【详解】由向量1,1a，cos,sin0b，对于A中，由22cossin1b，所以A正确；对于B中，若//ab，可得sincos且cos0，可得tan1，所以B正确；对于C中，若abab，可得22abab，整理得0ab，所以cossin0，可得tan1，因为0π，可得34，所以C正确；对于D中，由222π2212(cossin)322sin()4ababab，因为0π，所以ππ5π444，可得2πsin124，所以2ab的最大值为322，即ab的最大值为12，所以D错误.故选：D.7．（云南三校2023届高三高考备考实用性联考卷（八）数学试题）已知1z，2z是方程2220xx的两个复根，则2212zz（）A．2B．4C．2iD．4i【答案】B【分析】利用求根公式求出两个复根，然后利用复数的运算法则及模的公式直接计算即可.【详解】已知1z，2z是方程2220xx的两个复根，所以2422i1i22z，则设11iz，21iz，所以2212121222i4i4zzzzzz，故选：B.8．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形ABCD中，120,1,2BADABADAC.若E为CD的中点，则EAEB的值为（）A．-3B．13C．32D．3【答案】C【分析】根据余弦定理得到3BD，确定AC为圆的直径，BCD△为等边三角形，建立坐标系，确定点坐标，计算向量的数量积得到答案.【详解】连接BD，由余弦定理知22211121132BD，所以3BD.由正弦定理得2sin120BDAC，所以AC为圆的直径，所以CDAD，所以3CD，从而CDBD，又18012060BCD，所以BCD△为等边三角形，以D为原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.则3331,0,0,,,222AEB，331,,,022EAEB所以EAEB3331,,0222.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2ABa，2ACab，则下列结论正确的是（）A．1bB．4abBCC．1abD．ab【答案】BC【分析】根据平面向量的数量积的运算律一一判断求解.【详解】因为2ABa，所以22ABa，所以1a，又因为2ACab，所以ACABb,所以bACABBC，所以2bBC，A错误；因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以,ABBC的夹角为2π3，即,ab的夹角为2π3，所以222π4444cos03abBCabbabbabb，所以4abBC，B正确；2πcos103abab，C正确，D错误；故选:BC.10．（2023·山东青岛·统考三模）关于x的方程24x的复数解为1z，2z，则（）A．124zzB．1z与2z互为共轭复数C．若12iz，则满足12izz的复数z在复平面内对应的点在第二象限D．若1z，则12zzz的最小值是3【答案】BD【分析】根据给定条件，求出12,zz，再逐项计算、判断作答.【详解】因为2(2i)4，因此不妨令方程24x的复数解122i,2izz，对于A，122i(2i)4zz，A错误；对于B，1z与2z互为共轭复数，B正确；对于C，12iz，由12izz，得2i(2i)(i)12i1i2i2i(i)22z，则复数z在复平面内对应的点1(,1)2在第四象限，C错误；对于D，设i(,R)zxyxy，由1z，得221xy，显然有11x，由选项A知124zz，因此2212|(4)i|(4)1783zzzxyxyx，当且仅当1x，即1z时取等号，D正确.故选：BD11．（2023·广东广州·统考模拟预测）在锐角ABC中，角,,ABC所对的边为,,abc，若sinsincoscos3sinBCACAac，且22234ABCSabc，则2cab的可能取值为（）A．3B．2C．142D．3105【答案】ACD【分析】由面积公式及余弦定理求出C，再由正、余弦定理将角化边，即可求出c，再由正弦定理及三角恒等变换公式将cab转化为关于A的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得.【详解】在锐角ABC中，由余弦定理及三角形面积定理得：22233()cos42ABCSabcabC1sin2abC，即有tan3C，而π(0,)2C，则π3C，又sinsincoscos3sinBCACAac，由正弦定理、余弦定理得，22222232223bcaabcbbcabaac，化简得：23c，由正弦定理有：234sinsinsin32abcABC，即4sinaA，4sinbB，又ABC是锐角三角形且π3C，有π(0,)2A，2ππ(0,)32BA，解得ππ(,)62A，因此2π4(sinsin)4[sinsin()]3abABAA31π4(sincossin)43sin()226AAAA，由ππ(,)62A得：ππ2π(,)633A，π3sin()(,1]62A，所以212[3,2)π43sin()6cabA，结合选项，2cab的可能取值为3，142，3105.故选：ACD12．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记BCe，则（）A．2ADAFDEB．22ABEAFAABC．BCCDFEBCCDFED．AE在CB方向上的投影向量为32e【答案】BC【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律，对选项逐一判断即可得到结果.【详解】22ADAFABAFED，故A错误；因为2,22||ABEAABEAFAABFAABEBAB，故B正确；11,22BCCDFEBCBCCDFEFE，又BCFE，所以BCCDFEBCCDFE，故C正确；AE在CB