专题7.5 数列的其他应用（原卷版）

专题7.5数列的其他应用题型一分段递推数列求通项公式题型二公共项数列题型三插项数列题型四数列中的新定义问题题型五数列的结构不良题型六递推数列的实际应用题型一分段递推数列求通项公式例1．（2023·江西南昌·统考三模）已知数列{}na满足11a，12,21,1,2,nnnankaank其中*Nk，则数列{}na的前2n项和2nS为______.例2．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）（多选）已知数列na满足10a，112nnnanaan，为奇数，为偶数，则（）A．55aB．当n为偶数时，322nnaC．23nnaaD．数列11nna的前21n项和为2n练习1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列na满足11a，111,22,nnnannaann为奇数为偶数，记2nnba，求数列na的通项公式．练习2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列na满足11a，1,,,;nnnannaann为奇数为偶数数列nb满足2nnba．(1)求数列nb的通项公式；(2)求数列11nnbb的前n项和nS．练习3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知数列na满足，*1*2,21,32,2,nnnankkaankkNN，12a，令2nnba.(1)写出1b，2b，并求出数列nb的通项公式；(2)记3lognncb，求nc的前10项和.练习4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知数列na的首项为12cosπ,1,cosπ,nnnnannanann为奇数为偶数,数列1122nnnnaa的前n项和小于实数M，则M的最小值为（）A．1124B．38C．12D．23练习5．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列na满足：①15a；②12,32,nnnanaan为奇数为偶数.则na的通项公式na______；设nS为na的前n项和，则2023S______.（结果用指数幂表示）题型二公共项数列例3．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）数列,nnab的通项公式分别为31nan和43nbnnN，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合2023,NAnnn中元素的个数为（）A．167B．168C．169D．170例4．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列na是公差为3的等差数列，数列nb是公比为2的等比数列，且满足131232424,aabbbaabb．将数列na与nb的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列nc．(1)证明：2;nncb(2)求数列nnac的前n项和nS．练习6．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列2n与32n的公共项由小到大排列得到数列na，则数列na的前n项的和为__________．练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知nN，将数列21n与数列21n的公共项从小到大排列得到新数列na，则1210111aaa__________.练习8．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知等差数列na的前n项和为nS，且54513211,3Saaaa．(1)求数列na的通项公式；(2)若数列nb由nS与na的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列nb落在区间0,2022内的项的个数．练习9．（2023·全国·高三专题练习）记nS为公比不为1的等比数列na的前n项和，542188aaaa，621S．(1)求na的通项公式；(2)设22lognnba，若由na与nb的公共项从小到大组成数列nc，求数列nc的前n项和nT．练习10．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被3除余2的自然数从小到大组成数列na，所有被5除余2的自然数从小到大组成数列nb，把na和nb的公共项从小到大得到数列nc，则（）A．353abcB．2810bcC．528abcD．9926bca题型三插项数列例5．（2023·全国·高三专题练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列．现将数列1，3进行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第*Nnn次得到数列1，123,,,,,3kxxxx．记1213nkaxxx，若4378na成立，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9例6．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列na的前n项和为nS，且*12N.nnSan(1)求数列na的通项公式；(2)在na与1na之间插入n个数，使这2n个数组成一个公差为nd的等差数列，求数列1nd的前n项和nT．练习11．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列na的通项公式515nan，在数列na的任意相邻两项ka与11,2,kak之间插入2k个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列nb，记新数列nb的前n项和为nS，则60S的值为______．练习12．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列na满足1112322,1,2nnnaaanaa.(1)求数列na的通项公式；(2)在数列na的任意ka与1ka项之间，都插入*Nkk个相同的数(1)kk，组成数列nb，记数列nb的前n项的和为nT，求27T的值.练习13．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，且21nnS．(1)求na的通项公式；(2)保持na中各项先后顺序不变，在ka与1ka之间插入k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列nb，记nb的前n项和为nT，求100T的值（用数字作答）．练习14．（2023春·辽宁锦州·高三校考期中）记nS为各项均为正数的等比数列na的前n项和，314S，且3a，23a，4a成等差数列.(1)求na的通项公式；(2)在na和1na之间插入n个数，使得这2n个数依次组成公差为nd的等差数列，求数列1nd的前n项和nT.练习15．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列na的前n项和nS，13a，且123nnSSn.数列nb满足11b，12121nnbbn*nN.(1)求数列na，nb的通项公式；(2)将数列nb中的项按从小到大的顺序依次插入数列na中，在任意的ka，1ka之间插入21k项，从而构成一个新数列nc，求数列nc的前100项的和.题型四数列中的新定义问题例7．（2023·全国·高三对口高考）对于数列na，定义Δna为数列na的一阶差分数列，其中1ΔNnnnaaan(1)若数列na的通项公式2513N22nannn，求Δna的通项公式；(2)若数列na的首项是1，且满足Δ2nnnaa，证明数列2nna为等差为数列.例8．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）所有的有理数都可以写成两个整数的比，例如0.70.7777,0.7如何表示成两个整数的比值呢？237770.7101010代表了等比数列710n的无限项求和，可通过计算该数列的前n项的和，再令n获得答案.此时779910nnS，当n时，79nS，即可得70.79.则下列说法正确的是（）A．410.4590B．12n为无限循环小数C．17n为有限小数D．数列15n的无限项求和是有限小数练习16．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若数列nA满足21nnAA，则称数列nA为“平方递推数列”．已知数列na中，19a，点1,nnaa在函数2()2fxxx的图象上，其中n为正整数，(1)证明：数列1na是“平方递推数列”，且数列lg1na为等比数列；(2)设lg1,24nnnbacn，定义,,*,,aababbab，且记*nnndbc，求数列nd的前n项和nS．练习17．（2023·湖北武汉·统考三模）将1,2,,n按照某种顺序排成一列得到数列na，对任意1ijn，如果ijaa，那么称数对,ijaa构成数列na的一个逆序对.若4n，则恰有2个逆序对的数列na的个数为（）A．4B．5C．6D．7练习18．（2023·北京·人大附中校考三模）已知数列na满足：对任意的Nn，总存在Nm，使得nmSa，则称na为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（）①若2023nan，则na为“回旋数列”；②设na为等比数列，且公比q为有理数，则na为“回旋数列”；③设na为等差数列，当11a，0d时，若na为“回旋数列”，则1d；④若na为“回旋数列”，则对任意Nn，总存在Nm，使得nmaS．A．1B．2C．3D．4练习19．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）（多选）在数列na中，221nnaap（*2,Nnn，p为非零常数），则称na为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A．(2)n是等方差数列B．若正项等方差数列na的首项11a，且124,,aaa是等比数列，则nanC．等比数列不可能为等方差数列D．存在数列na既是等差数列，又是等方差数列练习20．（2023·江苏苏州·校联考三模）（多选）若数列na满足：对任意的*N3nn，总存在*,Nij，使(,,)nijaaaijinjn，则称na是“F数列”.则下列数列是“F数列”的有（）A．2nanB．2nanC．3nnaD．1152nna题型五数列的结构不良例9．（2023·江西·统考模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，23a，51341Saa．(1)求na的通项公式及nS；(2)设__________，求数列nb的前n项和nT．在①11nnnbaa；②11nnnnabSS；③11nnnbaa这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例10．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知正项数列na的前n项和为nS，在①2211230N*nnnnaaaan，且13a；②332N*nnaSn；③,N*mnnmaanma，13a，这三个条件中任选一个，解答下列问题：(1)证明数列na是等比数列，并求其通项公式；(2)设12311nnnnabaa，数列nb的前n项和为nT，若2Z2nT恒成立，求的最小值.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.练习21．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知数列na的前n项和为nS，在①11nnnaan2n且11a；②