专题7.6 数列综合练（解析版）

专题7.6数列综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·江苏苏州·模拟预测）2022年11月8日，著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告，与北大数学师生分享他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作，他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式：acbdabccdb.已知数列na的通项公式为222232nannnn，则其前9项的和9S等于（）A．13280B．20196C．20232D．29520【答案】B【分析】先变形得到22121nannnn，再利用裂项相消法求和即可.【详解】22222232121nannnnnnnn，所以22222291239230134124523Saaaa2222221011891011910011220196.故选：B.2．（2023·全国·高三对口高考）若两个等差数列na，nb的前n项和,nnAB满足71427nnAnnBnN，则1111ab（）A．141107B．43C．74D．7871【答案】B【分析】根据等差数列得性质和前n项和公式计算即可.【详解】由71427nnAnnBnN，得1211111121211211111121212127211422124212732aaaaaaAbbbbbbB.故选：B.3．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）数列na满足111nnaa，33a，则2023a（）A．12B．23C．52D．3【答案】A【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求2021a的值.【详解】因为111nnaa，33a，所以32131aa，解得223a，又211213aa，解得112a，又431112aa，541213aa，65131aa，显然，接下去78912,,3,23aaa，所以数列na是以3为周期的周期数列，则712023136412aaa.故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用[]x表示不超过x的最大整数，则[]yx称为“高斯函数”，例如：[2.5]3，[2.7]2．已知数列na满足11a，23a，2123nnnaaa，若21lognnba，nS为数列11nnbb的前n项和，则2023S（）A．20222023B．20242023C．20232024D．20252024【答案】C【分析】运用构造法可得1nnaa为等比数列，再运用累加法可得na通项公式，进而求得nb通项公式，再运用裂项相消求和可得结果.【详解】由2123nnnaaa，得2112nnnnaaaa．又212aa，所以数列1nnaa构成以2为首项，2为公比的等比数列，所以12nnnaa.又212aa，2322aa，…，112nnnaa，叠加可得12121321222(2)nnnaaaaaan，即1211222nnaa，所以10121)12212222221(2nnnnan.又因为11a满足上式，所以21nnanN.所以1121nna.因为112212nnn，所以11222log2log21log2nnn，即12log211nnn，所以1212loglog21nnnban.故11111(1)1nnbbnnnn.所以20231111112023112232023202420242024S.故选：C.5．（2023·全国·高三对口高考）设na是公比为q的等比数列，其前n项的积．为nT，并且满足条件：11a，9910010aa，99100101aa．给出下列结论：①01q；②1981T；③991011aa；④使1nT成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是（）A．①②③B．①④C．②③④D．①③④【答案】D【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断①；利用等比数列的性质及不等式的性质判断②；利用下标和定理判断③；利用等比数列的性质判断④，从而得出结论．【详解】对于①：9910010aa，219711aq，9821()1qaq，11aQ，0q．又99100101aa，991a，且1001a，01q，故①正确；对于②：197(1197)198219799989999992198111199100()()()1Taqaqaqaqaa，故②错误；对于③：2991011001aaa，故③正确；对于④：9919812198119821979910099100()()()()1Taaaaaaaaaaa，199121991199219899101100()()()1Taaaaaaaaaa，故④正确．故选：D．6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足11a，121221nnanaaann，令212021nnabn，则错误选项是（）A．10100aB．数列nb是等差数列C．2021b为整数D．数列2π2cos4nnbb的前2022项和为4044【答案】C【分析】由已知当1n时，求得24a，当2n时，由121221nnanaaann，得121(1)212nnanaaann，两式相减化简，再利用累乘法可求得2nan，从而可判断A，可求出nb，从而可判断BC，将nb代入2π2cos4nnbb中化简，然后利用分组求和法求解即可判断D.【详解】因为12122(1)nnanaaann，所以当1n时，2114aa，故24a.当2n时，由121221nnanaaann，得121(1)212nnanaaann，所以12(1)nnanann(1)2nnan，整理1221nnaann，所以212(1)nnanan，所以222322221212312(1)nnaaanaaan，所以2nan，10100a，所以A正确，所以212021nnbn222021n，所以12(1)2222202120212021nnnnbb，所以nb为等差数列，所以B正确，所以20212202122220212021b不是整数，所以C错误，则2π2cos4nnbbπ1cos2nnbb22(1)π1cos20212021nn，设数列2π2cos4nnbb的前n项和为nS，则202220π2021π(0122021)2022coscoscos2021202120212021πS0π4044cos2021π2021πcoscos20212021.因为coscosπ0，所以0π2021πcoscoscos0202120212021π.故20224044S，所以D正确.故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足22a，*2213nnnaanN，1*2121nnnaanN，则数列na第2023项为（）A．1012352B．1012332C．1011352D．1011332【答案】B【分析】根据题意得到1212131nnnnaa，再利用累加法计算得到答案．【详解】由22a，则有1213aa，得11a，又12121nnnaa，2213nnnaa，则1212131nnnnaa*nN，所以213131aa，325331aa，437531aa，L，101210112023202131aa，相加得101110122310122310112023131333111333311132aa．故选：B．8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}na满足101a，14R2nnnatata，若对于任意*Nn，都有103nnaa，则t的取值范围是（）A．(1，3]B．[0，3]C．(3,8)D．(8,)【答案】A【详解】由题意易知，121402ataa成立，故4t；又21202nnnnnaataaa，故只要220nnaat在(0,3)上有解，则1t；又1432nnnataa恒成立，即60nat，即6nta，则3t≤；综上所述，实数t的取值范围为(1，3]．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（2023春·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知数列na，nb，下列说法正确的有（）A．若25nan，则na为递减数列B．若10b，13nnbb，则nb为等比数列C．若数列nb的公比1q，则nb为递减数列D．若数列na的前n项和22nSnn，则na为等差数列【答案】ABD【分析】对A计算1nnaa可得答案；对B变形得13nnbb可得答案；对C举例求出123,,bbb可得答案；对D.求出na可得答案.【详解】对A，当nN时，12512550nnaann，即1nnaa，A正确；对B，因为10b，nN，所以0nb，由已知得13nnbb，则nb是以3为公比的等比数列，B正确；对C，当11b时，211bb，321bb，则32bb，故nb不是递减数列，C错误；D.由22nSnn得1n时，113aS，2n，2212(1)2221nnnaSSnnnnn，检验得，1n时，满足21nan，所以，12nnaa，则{}na为等差数列，D正确.故选：ABD.10．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）设nS是数列na的前n项和，且1220,21aa，1132nnnaSS，则（）A．113aB．数列1nS是公差为23的等差数列C．数列1nS的前5项和最大D．6(211)(213)nann【答案】AC【分析】令1n可得211232aaaa即可求1a判断A，利用,nnaS的关系可得11123nnSS即可判断B,C，取1n求得1233a