专题8.2 空间中的平行和垂直关系（原卷版）

专题8.2空间中的平行和垂直关系题型一线面平行、面面平行的判定定理题型二补全平行的条件题型三线面平行、面面平行的性质定理题型四线面垂直、面面垂直的判定定理题型五补全垂直的条件题型六线面垂直、面面垂直的性质定理题型七判断平行，垂直的有关命题题型八平行，垂直的综合应用题型一线面平行、面面平行的判定定理例1．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，已知四棱锥PABCD中，//ABCD，O、M分别是CD、PC的中点，PO底面ABCD，且POODDAABBC(1)证明：//PA平面OBM；(2)若1PO，求三棱锥MPAB的体积．例2．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）如图，正三棱柱111ABCABC-的所有棱长都等于2，E，F，G分别为11BC，11AB，AB的中点．(1)求证：平面11ACG//平面BEF；练习1．（2022春·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）如图，ABC中，22ACBCAB，ABED是正方形，平面ABED平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(1)求证：//GF平面ABC；练习2．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）如图,四棱锥PABCD中,PA底面,,ABCDADBCN∥为PB的中点.(1)若点M在AD上,32,4AMMDADBC,证明:MN平面PCD;练习3．（2023春·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，3EP，2,1,,//,,BPADAEAEEPAEBPFG分别是,BCBP的中点.(1)设过三点,,PEC的平面为，求证：平面AFG//平面；(2)求四棱锥DABPE与三棱锥PBCD的体积之比.练习4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，E为棱AB的中点，DE与AC交于点,FG为PBC的重心.(1)求证：FG平面PAB；练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知点E，F分别是正方形ABCD的边AD，BC的中点.现将四边形EFCD沿EF折起，如图所示.若点G，H分别是AC，BF的中点，求证：//GH平面EFCD.题型二补全平行的条件例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，,FG分别为,PBAD的中点.(1)证明：AF平面PCG；(2)在线段BD上是否存在一点N，使得FN平面PCG，并给出必要的证明.例4．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）三棱柱111ABCABC-中，四边形11AABB是菱形，1160AAB，平面11AABB平面111ABC，ABC是等腰三角形，120ACB，23AB，1BC与1BC交于点M，1AA，11AB的中点分别为N，O，如图所示.(1)在平面11AABB内找一点D，使//MD平面1CNO，并加以证明；练习6．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台111ABCABC-中，114AC，6AC，D为线段AC上靠近C的三等分点.(1)线段BC上是否存在点E，使得1//AB平面1CDE，若不存在，请说明理由；若存在，请求出BEBC的值；练习7．（2023春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考期中）如图所示，三棱柱111ABCABC-，底面是边长为2的正三角形，侧棱1AA底面ABC，点,EF分别是棱11,CCBB上的点，点M是线段AC上的动点，22ECFB．(1)当点M在何位置时，//BM平面AEF?练习8．（2022秋·安徽合肥·高二校考学业考试）如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，//CEAB.(1)求证：CE平面PAD；(2)若E为AD的中点，试在PD上确定一点F，使得平面//CEF平面PAB，并说明理由.练习9．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是ABPC、的三等分点（M靠近B，N靠近C）；(1)求证：//MN平面PAD．(2)在PB上确定一点Q，使平面//MNQ平面PAD．练习10．（2021秋·河南·高三校联考开学考试）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，90BAC.点,,DEN分别为棱,,PAPCBC的中点，M是线段AD的中点，4PAAC，2AB.(1)证明：平面PAB平面BDE；(2)已知点F在AB上，且平面//MNF平面BDE，求线段AF的长.题型三线面平行、面面平行的性质定理例5．（2023春·高二课时练习）如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．(1)求证：BE∥平面DCF；例6．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）（多选）如图，在四面体ABCD中，截面MNPQ是正方形，则下列判断正确的是（）A．ACBDB．//AC平面MNPQC．ACBDD．点B，D到平面MNPQ的距离不相等．．．．练习11．（2023·北京海淀·校考三模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且π2PAD，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点E．(1)求证：//EFAD；练习12．（2023·重庆万州·统考模拟预测）如图1所示，在四边形ABCD中，BCCD，E为BC上一点，22AEBEADCD，3CE，将四边形AECD沿AE折起，使得3BC，得到如图2所示的四棱锥．(1)若平面BCD平面ABEl，证明：//CDl；练习13．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；(2)求证：BC∥l．练习14．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形,1,ACFEAEAE平面,ABCD,90,∥ABCDBAD1,2ABADCD，平面ADF与棱BE交于点G．求证：∥AGDF；练习15．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥EABCD，3ABAD，1CDCB，2AC，平面EAC平面ABCD，平面ABE平面CDEl.若点M为线段AE中点，求证：//BMl；题型四线面垂直、面面垂直的判定定理例7．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是平行四边形，ACBC，60,4,90ABCSASBSCASB．(1)求证：平面SAB平面ABC；例8．（2023春·山东临沂·高三校考阶段练习）如图，AB是O的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且3.PAPBPC(1)求证：平面PAB平面ABC；练习16．（浙江省北斗星盟2023届高三下学期5月联考数学试题）已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ABAP，平面PCD平面,ABCDPDAD.(1)若H为AP的中点，证明：AP平面HCD；练习17．（2023春·广西柳州·高三柳州地区高中校考期中）如图，在四棱锥PABCD中，PAABCD平面，//ADBC，ABBC，4PAAD，1BC，3AB，23CD.(1)证明：DC平面PAC；练习18．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C，E，D，G四点共面.(1)证明：平面BDF平面BCG；练习19．（2023·全国·高三对口高考）如图1所示，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF上的一点，将GAB△，GCD分别沿AB，CD翻折成1GAB△，2GCD△，并连接12GG，使得平面1GAB平面ABCD，12//GGAD，且12GGAD．连接2BG，如图2．(1)证明：平面1GAB平面12GADG；练习20．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知四棱锥PABCD的底面是正方形，,5,3ACBDOPAPDPO，2,ADE是棱PC上任一点．(1)求证：平面BDE平面PAC；题型五补全垂直的条件例9．（2023春·山东青岛·高三青岛二中校考期中）如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，2ABBC，7ADCD，3PA，120ABC，G为线段PC上的点．(1)证明：BD面APC；(2)若G满足PC面BGD，求PGGC的值．例10．（2021秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60DAB，PAPD，G为AD的中点．(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使DFAD？请证明你的结论．练习21．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱111ABCABC-中，90BAC，1ABAC．(1)试在平面1ABC内确定一点H，使得AH平面1ABC，并写出证明过程；练习22．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是菱形，60ABC，1AA平面ABCD，E为1AA中点，12AAAB．(1)求证：1AC//平面11BDE；(2)在1AC上是否存在点M，满足1AC平面11MBD?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由．练习23．（2022春·辽宁葫芦岛·高三统考期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，3AB，4BC，已知13AEED，且PE平面ABCD，BFFC，2CGGD．(1)在线段FG上确定一点M使得平面PEM平面PFG，并说明理由；练习24．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60DAB，侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD．(1)求证：ADPB．(2)若E为BC中点，试在PC上找一点F，使平面DEF平面ABCD．练习25．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，90ADC，3ADCD，4BC．(1)设F为BC中点，问：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由；题型六线面垂直、面面垂直的性质定理例11．（2022春·福建·高二统考学业考试）如图，在三棱锥PABC中，侧面PAB底面ABC，且,53,PAABPAABC的面积为6．(1)求三棱锥PABC的体积；(2)若5,4ABAC，且BAC为锐角，求证：BC平面PAC．例12．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，直角梯形ABCD中，ADBC∥，90BAD，2ABAD，22BC，将ABD△沿BD翻折至ABD的位置，使得ABAC.(1)求证：平面ABD平面BCD；(2)若F，H分别为BC，AC的中点，求三棱锥ADFH的体积.练习26．（2023·河南安阳·统考三模）如图所示，在直角三角形ABC中，90ABC，//DEBC，24BDAD，1DE，将ADEV沿DE折起到PDE△的位置，使平面PDE平面BCED，点M满足2CMMP.(1)证明：BCME；练习27．（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面ACD平面ABC，BE平面ABC，ABC和ACD均为正三角形，23ACBE，，点M为线段CD上一点．(1)求证：DEAM；练习28．（2023·全国·校联考二模）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD且2ABCD，其中PAD为等腰直角三角形，ππ4,,24APPDAPAB，且平面PAB平面,PA