专题8.4 空间向量与立体几何（原卷版）

专题8.4空间向量与立体几何题型一空间向量及其运算题型二空间共面向量定理题型三求平面的法向量题型四利用空间向量证明平行，垂直题型五求空间角题型六已知夹角求其他量题型七求异面直线，点到面或者面到面的距离题型八求点到线的距离题型九点的存在性问题题型一空间向量及其运算例1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，设ABa，ADb，1AAc．(1)用a，b，c表示1AC；(2)求AC1的长．例2．（2022·全国·高二专题练习）已知向量(0,1,1)a，(4,1,0)b，||29ab且0，则（）A．2B．2C．3D．3练习1．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1)OAOB(2)EFCB(3)OAOBCACB练习2．（2022·高三课时练习）已知：,4,1,2,,1,3,2,axbycz，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)ac与bc所成角的余弦值.练习3．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）如图，在三棱锥OABC中，点E，F分别是OB，AC的中点，M是EF的中点，设OAa，OBb，OCc，用a，b，c表示BM，则BM（）A．131444abcB．131222abcC．131424abcD．131242abc练习4．（2023·山东·校联考模拟预测）定义两个向量u与v的向量积uv是一个向量，它的模sin,uvuvuv，它的方向与u和v同时垂直，且以,,uvn的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体ABCD中，则ABADAC（）A．42B．4C．43D．23练习5．（2022·高三单元测试）（多选）已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（﹣1，3，1），则正确的有（）A．AB与AC是共线向量B．AB的单位向量是（1，1，0）C．AB与BC夹角的余弦值是36D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣1，3）题型二空间共面向量定理例3．（2022·高二课时练习）（多选）若abc，，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A．bc，b，bcB．a，ab，abC．ab，ab，cD．ab，abc，c例4．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）已知向量1e，2e不共线，12ABee，1228ACee，1235ADee，则（）A．AB与AC共线B．AB与CD共线C．A，B，C，D四点不共面D．A，B，C，D四点共面练习6．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校联考开学考试）在空间直角坐标系中，已知点2,3,1,1,1,1,0,1,1,1,1,ABCDx，若,,,ABCD四点共面，则x__________.练习7．（2023春·高三课时练习）设空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足向量关系OPxOAyOBzOC（其中1xyz），试问：P，A，B，C四点是否共面？练习8．（2023·高二校考课时练习）已知{},,abc是空间的一组基底，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是（）A．aB．bC．2abD．2ac练习9．（2022·北京·高三强基计划）（多选）如图，已知正三棱锥PABC的侧棱长为l，过其底面中心O作动平面，交线段PC于点S，交,PAPB的延长线于M，N两点．则下列说法中正确的是（）A．111PSPMPN是定值B．111PSPMPN不是定值C．1112PSPMPNlD．1113PSPMPNl练习10．（2022秋·重庆·高三统考期末）（多选）若,,ABACAD构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（）A．存在,xyR，使得ABxACyADB．,,BCCDAB也构成空间的一个基底C．若APABACAD，则直线AP与BD异面D．若APABACAD，则P，B，C，D四点共面题型三求平面的法向量例5．（2023·全国·高三专题练习）设向量3,2,1a是直线l的方向向量，1,2,1n是平面α的法向量，则（）A．lB．//l或lC．//lD．l例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知(2,0,0)A，(0,2,0)B，(0,0,2)C，则平面ABC的一个法向量可以是（）A．(1,1,1)B．(1,1,1)C．(1,1,1)D．(1,1,1)练习11．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知点2,6,2A在平面内，3,1,2n是平面的一个法向量，则下列点P中，在平面内的是（）A．1,1,1PB．31,3,2PC．31,3,2PD．31,3,4P练习12．（2023春·高三课时练习）已知1,1,0,1,0,1,0,1,1ABC，则平面ABC的一个单位法向量是（）A．1,1,1B．333(,,)333C．111(,,)333D．333(,,)333练习13．（2023春·高三课时练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量.练习14．（2023春·高二课时练习）已知在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：AE是平面A1D1F的一个法向量．练习15．（2023春·高三课时练习）在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为棱1111,ADAB的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面11BDDB的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量.题型四利用空间向量证明平行，垂直例7．（2022·全国·高二专题练习）如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若DMCNMPNA，用向量法证明：直线MN∥平面PAB.例8．（2022·高二课时练习）如图，在正方体1111ABCDABCD中，求证：(1)求AC与1AD所成角的大小；(2)平面11//ABD平面1BDC；(3)1AC平面1BDC．练习16．（2023春·高三课时练习）如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.练习17．（2023春·高三课时练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA.练习18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中//ADBC.,3,2,ADABADABBCPA平面ABCD，且3PA，点M在棱PD上，点N为BC中点.若2DMMP，证明：直线//MN平面PAB.练习19．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，121023832,,,,,,,,ABADAP.(1)求证：PA⊥底面ABCD；(2)求PC的长.练习20．（2023·北京密云·统考三模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，ADMN，2AB，4ADAP，M，N分别是BC，PD的中点.(1)求证：MN∥平面PAB；(2)求二面角NAMB的余弦值.题型五求空间角例9．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11BCCB为正方形，平面11BCCB平面11ABBA，AB＝BC＝2，M，N分别为11AB，AC的中点．(1)求证：//MN平面11BCCB；(2)从条件①：AB⊥MN，条件②：BM＝MN中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．例10．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，四边形ABCD为菱形，π3BAD，ED平面ABCD，//FBED，2BDEDFB．(1)求证：平面BDEF平面AFC；(2)求二面角AEFC的余弦值．练习21．（2022春·湖南株洲·高三统考期末）如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，//EBPA，4ABPA，2EB，F为PD的中点．(1)求证：//BD平面PEC；(2)求平面PCD与平面PCE夹角的余弦.练习22．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，OP底面ABCD，3OP，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．(1)求证：平面OEF∥平面PCD；(2)求二面角P－EF－O的正弦值．练习23．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在长方体1111ABCDABCD中，2AB，4AD，13AA，1BC交1BC于点E.(1)证明：直线1//DE平面1ABD；(2)求AD与平面1ABD所成角的正弦值.练习24．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，60ABC，四边形PACQ为矩形，1PA，且平面PACQ平面ABCD.(1)求BP与平面ACQP所成角的正弦值；(2)求平面BPQ与平面PQD夹角大小；(3)若在线段BP上存在点M，使得CM平面PQD，求点M到平面ACQP的距离.练习25．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1CC平面ABC，ACBC，1BCACCC，D为1AB的中点，1CB交1BC于点E．(1)证明：11CBCD；(2)求异面直线1CD与1BB所成角的余弦值．题型六已知夹角求其他量例11．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知ABC和ADEV所在的平面互相垂直，ADAE，2AB，4AC，120BAC，D是线段BC的中点，3AD.(1)求证：ADBE；(2)设2AE，在线段AE上是否存在点F（异于点A），使得二面角ABFC的大小为45.例12．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）如图，ADBC∥且2ADBC，ADCD，EGAD∥且EGAD，CDFG∥且2CDFG.DG平面ABCD，2DADCDG.(1)求平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值；(2)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长.练习26．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图，正三棱柱111ABCABC-的所有棱长均为6,D为1AA的中点，E为BC上一点，(1)若2CE，证明：DC平面1ABE；(2)当直线BD与平面1BED所成角的正弦值为1510，求CE的长度.练习27．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考期中）如图，在正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D为AB的中点，111(01)323CECCAAAB，.(1)若12，证明:DE⊥平面A₁B₁E；(2)若直线BC₁与平面A₁B₁E所成角为π3，求λ的值.练习28．（2023春·江苏泰州·高三泰州中学校考期中）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，ADBC∥，AFBE∥.DA平面ABEF，ABAF，222ADABBCBE.(1)已知点G为AF上一点，且22BG，试判断BG是否与平面DCE平行，并说明理由；(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为41339，求该多面体ABCDEF的体积.练习29．（2023·北京东城·统考二模）如图，直角三角形ABC和等边三角形ABD所在