专题9.4 双曲线（原卷版）

专题9.4双曲线题型一双曲线的定义题型二求双曲线的标准方程题型三根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围题型四双曲线的焦点三角形题型五距离和差的最值问题题型六双曲线的简单几何性质题型七双曲线的离心率题型八双曲线的渐近线题型一双曲线的定义例1．（2021秋·高二课时练习）已知1F、2F是双曲线221169xy的焦点，PQ是过焦点1F的弦，那么22PFQFPQ的值是________．例2．（2021秋·高三课时练习）（多选）已知12(3,0),(3,0)FF，满足条件1221PFPFm的动点P的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，m可以是（）A．12B．2C．1D．3练习1．（2023·四川达州·统考二模）设1F，2F是双曲线C：22143xy的左、右焦点，过2F的直线与C的右支交于P，Q两点，则11||FPFQPQ（）A．5B．6C．8D．12练习2．（2022秋·高三课时练习）与圆221xy及圆228120xyx都外切的圆P的圆心在（）A．一个椭圆上B．一个圆上C．一条直线上D．双曲线的一支上练习3．（2021秋·高三课时练习）已知动点,Pxy满足222xy2222xy，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线左支C．双曲线右支D．一条射线练习4．（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点12,FF的距离之差的绝对值等于12FF的点的轨迹是（）A．双曲线B．两条射线C．一条线段D．一条直线练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线C：22194xy，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C右支上，则ANBN的值为______．题型二求双曲线的标准方程例3．（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，2ABBCCD，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（）A．22719yxB．2221xyC．22917yxD．22314yx例4．（2023秋·高三课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)以椭圆221169xy短轴的两个端点为焦点，且过点(4,5)A；(2)经过点(3,27)P和(62,7)Q．练习6．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）若双曲线C：222210,0xyabab其中一条渐近线的斜率为2，且点3,2在C上，则C的标准方程为（）A．22128xyB．22182yxC．2212yxD．22513xy练习7．（2023秋·高三课时练习）已知双曲线过点2,0，且与椭圆224936xy有公共焦点，则双曲线的标准方程是（）A．2214yxB．2214xyC．2214yxD．2214xy练习8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab满足下列条件中的两个：①实轴长为4；②焦距为6；③离心率2e，则双曲线C的方程为___________.（写出一个正确答案即可）练习9．（2023·全国·高三对口高考）离心率为73且过点6,42的双曲线方程为______.练习10．（2023·高三课时练习）动圆M过点2,0A，且与圆22430Cxyx：外切，则动圆圆心M的轨迹方程是______．题型三根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围例5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知曲线22:sincos10πCxy，则下列说法正确的是（）A．若曲线C表示两条平行线，则0B．若曲线C表示双曲线，则2C．若π02，则曲线C表示椭圆D．若π04，则曲线C表示焦点在x轴的椭圆例6．（2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）已知22,4,3,2,1,1,2,3,4,1xyabab表示焦点在y轴上的双曲线有m个，221xyab表示焦点在x轴上的椭圆有n个，则mn的值为（）A．10B．14C．18D．22练习11．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）“0m”是“方程220xmym表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件练习12．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）（多选）对于曲线C：22141xykk，则下列说法正确的有（）A．曲线C可能为圆B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线C．若1k，则曲线C为椭圆D．若12k，则曲线C为双曲线练习13．（2023秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）（多选）若方程22152xytt所表示的曲线为C，则下面四个选项中错误的是（）A．若C是圆，则72tB．若C为椭圆，则25tC．若C为双曲线，则5t或2tD．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则25t练习14．（2023·高三课时练习）若0ab，则方程220axybbxayab表示的曲线只可能是（）A．B．C．D．练习15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）（多选）当m变化时，22131xymm所表示的曲线形状，下列说法不正确的是（）A．当13m时，方程表示椭圆B．1m或3m是方程表示双曲线的充要条件C．该方程不可能表示圆D．1m是方程表示直线的充分不必要条件题型四双曲线的焦点三角形例7．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）设P是双曲线221412xy右支上的一个动点，1F、2F为左、右两个焦点，在12PFF△中，令12PFF，21PFF，则tan:tan22的值为_________．例8．（2021秋·高三课时练习）已知点F1，F2分别是双曲线221916xy=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且1232PFPF，则△12FPF的面积为____.练习16．（2022秋·高三课时练习）已知点12FF、分别是双曲线221916yx的下、上焦点，若点P是双曲线下支上的点，且1232PFPF，则12PFF△的面积为________.练习17．（2023春·湖南·高三浏阳一中校联考阶段练习）已知离心率为2的双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，过点2F作直线与双曲线交于第一象限内的点P，若12PFF△的内切圆半径为b，则直线2PF的倾斜角为__________．练习18．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知双曲线222210,0xyabab的左、右焦点分别是1F，2F，过点2F的直线与双曲线的右支交于点A，C，连接1AF交双曲线的左支于点B，若2BFAC，23AF，22CF，则ABC的面积是______．练习19．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知0a，双曲线2221xay的左､右焦点分别为1F、2F，点M在双曲线的右支上，且直线1FM的斜率为a.若123π4FMF，则a__________.练习20．（2023·全国·高三对口高考）设1F，2F分别是双曲线2214yx的左、右焦点．若点P在双曲线上，且120PFPF，则12PFPF_________，12PFPF_________；题型五距离和差的最值问题例9．（2021秋·高二课时练习）设P是双曲线2213yx的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知3,1A，3,6B，则|PA|＋|PF|的最小值为________；|PB|＋|PF|的最小值为________．例10．（2023春·四川内江·高三威远中学校校考期中）已知F是双曲线C：2218yx的右焦点，P是C的左支上一点，0,7A，则PAPF的最小值为（）A．5B．6C．7D．8练习21．（2022·青海西宁·统考二模）设双曲线221916xy的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆229xy相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则MNMO（）A．-12B．-1C．-32D．-2练习22．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期末）已知2,0A，2,0B，动点M满足2MBMA，0,23N，则MNB周长的最小值为______，此时点M的坐标为______.练习23．（2022秋·河北邢台·高三统考阶段练习）如下图，B地在A地的正东方向6km处，C地在A地的北偏东60方向63km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远4km，则曲线PQ的轨迹方程（以AB中点为原点）是___________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向BC､两地转运货物，那么这两条公路MBMC､的路程之和最短是___________km.练习24．（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线2222:10,0xyCabab，其一条渐近线方程为30xy，右顶点为A，左，右焦点分别为1F，2F，点P在其右支上，点3,1B，三角形1FAB的面积为312，则当1PFPB取得最大值时点P的坐标为（）A．663,122B．663,122C．333,1210D．65781078,2222练习25．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线222116xya的左焦点F作圆22223xyaa的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则MOMT的最大值为______．题型六双曲线的简单几何性质例11．（2023春·上海浦东新·高三上海师大附中校考期中）已知π04，则双曲线22122:1cossinxyC与222222:1sinsintanxyC的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等例12．（2023·四川凉山·三模）已知以直线2yx为渐近线的双曲线，经过直线30xy与直线260xy的交点，则双曲线的实轴长为（）．A．6B．23C．43D．8练习26．（2023·湖南·校联考模拟预测）过双曲线2212yx的左焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若实数使得AB的直线l恰有3条，则（）A．2B．3C．4D．6练习27．（2022秋·内蒙古包头·高三统考期末）若实数m满足05m，则曲线221155xym与曲线221155xym的（）A．离心率相等B．焦距相等C．实轴长相等D．虚轴长相等练习28．（2023·河南安阳·统考三模）以双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点425,33Q，则C的焦距为（）A．4B．25C．6D．8练习29．（2022·全国·高三假期作业）已知点P是双曲线C：22184xy上的动点，1F，2F分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，则12PFPFOP的取值范围是（）A．0,6B．2,6C．16,22D．60,2练习30．（2023·江苏南京·统考二模）（多选）若实数x，y满足2212xy，则（）A．2xB．222xyC．12yxD．22xy题型七双曲线的离心率例13．（2022秋·高三课时练习）已知A，B是双曲线222210,0xyabab的两个顶点，P为双曲线上(除顶点外)一点，若直线PA，PB