题型06 5类函数选填压轴题解题技巧（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）（

【淘宝店铺：向阳百分百】题型065类函数选填压轴题解题技巧（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）技法01函数对称性的应用及解题技巧例1．（全国·高考真题）设函数()yfx的图像与2xay的图像关于直线yx对称，且(2)(4)1ff，则aA．1B．1C．2D．4反解()fx的解析式，可得2yax，即2logyax，因为(2)(4)1ff，所以22log2log41aa，解得解得2a，故选C技法01函数对称性的应用及解题技巧技法02解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧技法03整数解的应用及解题技巧技法04零点的应用及解题技巧本题型通常由对称性考查参数值及解析式的求解，灵活运用对称性反解函数是解题的关键，常以小题形式考查.【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数yfx的图象与2logyxa的图象关于直线yx对称，且满足122ff，则a（）A．4B．2C．1D．1【答案】B【分析】根据图象的对称性得点1,1f，2,2f在函数2logyxa的图象上，列方程组求解即可得解.【详解】函数yfx的图象与2logyxa的图象关于直线yx对称，所以点1,1f，2,2f在函数2logyxa的图象上，所以22log(1)1log(2)2fafa，所以(1)2(2)4fafa，所以(1)(2)26ffa，又122ff，所以226a，所以2a.故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）若函数(1)yfx的图象与函数ln1yx的图象关于直线yx对称，则()fx（）A．22exB．2exC．21exD．22ex【答案】B【详解】函数()yfx的图象与函数ln1yx的图象关于直线yx对称，由ln1yx得1eyx，∴22eyx，把,xy互换得：22exy，即(1)fx22ex，因为(1)fx222(1)eexx，所以()fx2ex．故选：B．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数exy和lnyx的图象与直线2yx交点的横坐标分别a，b，则ab（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】作出函数exy和lnyx的图象以及直线2yx的图象，利用反函数的性质即可判断【详解】作出函数exy和lnyx的图象以及直线2yx的图象，如图，由函数exy和lnyx的图象与直线2yx交点,AB的横坐标分别为a，b，由题意知,e,(,ln)aAaBbb，也即(,2),(,2)AaaBbb,由于函数exy和lnyx互为反函数，二者图像关于直线yx对称，而,AB为exy和lnyx的图象与直线2yx的交点,故,AB关于yx对称，故2,2abab.故选：B.4．（2023·全国·高三专题练习）若1x满足25xx，2x满足2log5xx，则12xx等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【分析】将所给式化简可得1152xx，2225logxx，进而1x和2x是直线5yx和曲线2xy、曲线2logyx交点的横坐标.再根据反函数的性质求解即可【详解】由题意1152xx，故有2225logxx故1x和2x是直线5yx和曲线2xy、曲线2logyx交点的横坐标.根据函数2xy和函数2logyx互为反函数，它们的图象关于直线yx对称，故曲线2xy和曲线2logyx的图象交点关于直线yx对称.即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上，即12125522xxxx，求得x1+x2=5，【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D.技法02解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧例2．（全国·高考真题）设函数211ln1fxxx=,则使21fxfx成立的x的取值范围是A．1,13B．1,1,3C．11,33D．11,,33【特值法】当1x时，11ff不成立，排除D，当0x时，则判断10ff是否成立，计算10f，19.0212ln1f，不成立，故排除B、C,【答案】A1．（全国·高考真题）设函数2010xxfxx，，，则满足12fxfx的x的取值范围是A．1，B．0，C．10，D．0，【答案】D【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有12fxfx在已知函数解析式，解抽象不等式快速求解的方法就是特值法，因此小题要学会特值法的使用来快速求解【淘宝店铺：向阳百分百】成立，一定会有2021xxx，从而求得结果.详解：将函数fx的图像画出来，观察图像可知会有2021xxx，解得0x，所以满足12fxfx的x的取值范围是0，，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.【详解】2．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数13,0,22332,,22xxfxfxx，则2logfxx的解集是（）A．1,12B．1,2C．1,22D．1,11,22【答案】C【分析】根据函数13,0,22332,,22xxfxfxx解析式，作出函数图象，继而作出2logyx的图象，数形结合，求得不等式的解集.【详解】根据题意当3,32x时,31)22(32fxxx，【淘宝店铺：向阳百分百】当93,2x时,23)](32)52[(fxfxxfx,作出函数13,0,22332,,22xxfxfxx的图象如图，在同一坐标系中作出函数2logyx的图象，由图象可得不等式2logfxx解集为1,22，故选：C【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.3．（2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校联考模拟预测）已知函数131log332xfxx，若121fafa成立，则实数a的取值范围为（）A．,2B．,20,C．42,3D．4,2,3【答案】C【分析】构造函数31log312xgxx，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在0,单调递增，进而fx关于直线2x对称，且在2,单调递增，结合条件可得12212aa，解不等式即得.【详解】因为22331log31log332xxxgxx的定义域为R，又223log33xxgxgx，故函数gx为偶函数，又0,x时，231x，23xy单调递增，故由复合函数单调性可得函数2233xxy在0,单调递增，【淘宝店铺：向阳百分百】函数3logyx在定义域上单调递增，所以gx在0,单调递增，所以123311log331log3122xxfxxx231log31222xxgx，所以fx关于直线2x对称，且在2,单调递增．所以12112212fafaaa，两边平方，化简得2340aa，解得423a．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数31log312xgxx，然后根据函数的单调性及对称性化简不等式进而即得.技法03整数解的应用及解题技巧例3．（2024·全国·模拟预测）已知关于x的不等式430lnxkxkx恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（）A．ln31,548B．ln31,278C．ln2,8D．ln3ln2,548【猜根法，寻找临界条件】由题知整数解不可能为1，在整数解问题中，通常我们用猜根法比较快，先找到临界条件得到端点值，再利用整数解区间为一开一闭，能做到快速求解.【淘宝店铺：向阳百分百】若整数解为2，则整数解3不可取，代入有82ln08162lnkkk，543ln027813lnkkk，根据整数解问题区间为一开一闭，则选D.1．（2023·四川内江·统考三模）若关于x的不等式31ln0axax有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（）A．1,2ln212B．1,3ln312C．2ln21,3ln31D．1ln2,3ln31)2【答案】A【分析】原不等式可化简为ln13xxaax，设()ln1fxxx，()3gxaax，作出函数()fx的图象，由图象可知函数()gx的图象应介于直线AC与直线BC之间（可以为直线)BC，进而求得答案．【详解】原不等式可化简为ln13xxaax，设()ln1fxxx，()3gxaax，由()ln1fxxx得，()ln1fxx，令()0fx可得1ex，10,xe时，()0fx，1,ex时，()0fx，易知函数()fx在10,e单调递减，在1,e单调递增，且11()1eef，作出()fx的图象如下图所示，而函数()3gxaax恒过点3,0C，要使关于x的不等式31ln0axax有且只有一个整数解，则函数()gx的图象应介于直线AC与直线BC之间（可以为直线BC），又1,1A，2,2ln21B，【淘宝店铺：向阳百分百】∴011312ACk，0(2ln21)2ln2132BCk，∴12ln212a，∴12ln212a．故选：A．2．（2023·全国·模拟预测）已知函数32lnxfxaxx，若不等式0fx有3个整数解，则实数a的取值范围为（）A．ln5ln2,10024B．ln5ln2,12532C．ln3ln2,184D．ln3ln2,278【答案】A【分析】根据题意将不等式等价转化为2ln()1xgxaxx有3个整数解．利用导数研究函数的性质并画出草图，结合图形列出关于a的不等式组，解之即可.【详解】函数fx的定义域为0,．由0fx，得2ln1xaxx，则不等式2ln1xaxx有3个整数解．设2lnxgxx，则312lnxgxx，当0,ex时，0gx，gx单调递增，当e,x时，0gx，gx单调递减，又10g，所以当01x时，0gx，当1x时，0gx，易知10yaxx的图象恒过