题型08 手把手教学答题模板之4类函数单调性与函数极值最值（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】题型08手把手教学答题模板之4类函数单调性与函数极值最值技法01具体函数的单调性知识迁移导函数与原函数的关系，)(,0)(xfxf单调递增，)(,0)(xfxf单调递减例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数1lnfxxx，讨论fx的单调性【详解】fx的定义域为0,．由1lnfxxx得，lnfxx，技法01具体函数的单调性技法02含参函数且导函数可分解型函数的单调性技法03含参函数且导函数不可分解型函数的单调性技法04二阶导函数求函数的单调性函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图象、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而具体函数的单调性是要掌握的基础知识点【淘宝店铺：向阳百分百】令0fx，则1x，当0,1x时0fx；当1,x时，'0fx．故fx在区间0,1内为增函数，在区间1,内为减函数，例1-2．（全国·高考真题）已知函数32113fxxaxx．若=3a，求fx的单调区间【详解】当a=3时，321()3333fxxxx，2()63fxxx．令=0fx解得x=323或x=323．当(,323)(323,)x时，0fx当(323,323)x时．0fx所以函数的增区间是(,323)和(323,)，减区间是(323,323)．1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数2sinπ,0,cos2xfxaxxx．当1a时，讨论fx的单调性【答案】fx在π0,2上单调递减【详解】因为1a，所以2sinπ,0,cos2xfxxxx，则22432coscos2cossinsincos2sin11coscosxxxxxxxfxxx3333222coscos21coscoscos2coscosxxxxxxx，令costx，由于π0,2x，所以cos0,1tx，所以23233222coscos22221211xxttttttttt2221ttt，因为2222110ttt，10t，33cos0xt，【淘宝店铺：向阳百分百】所以233coscos20cosxxfxx在π0,2上恒成立，所以fx在π0,2上单调递减.2．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln(0)2fxxxx．求()fx的单调区间【答案】fx的减区间为e02,，增区间为e,2.【详解】22e12e22xfxxxx，当e02x，0fx；当e2x，()0fx¢，故fx的减区间为e02,，fx的增区间为e,2.3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()eeaxxfxx．当1a时，讨论()fx的单调性【答案】fx的减区间为,0，增区间为0,.【详解】（1）当1a时，1exfxx，则exfxx，当0x时，0fx，当0x时，()0fx¢，故fx的减区间为,0，增区间为0,.4．（2021·全国·统考高考真题）已知0a且1a，函数()(0)axxfxxa．当2a时，求fx的单调区间【答案】20,ln2上单调递增；2,ln2上单调递减；【详解】当2a时，22222ln2222ln2,242xxxxxxxxxxxfxfx,令'0fx得2ln2x,当20ln2x时，()0fx¢,当2ln2x时，0fx,∴函数fx在20,ln2上单调递增；2,ln2上单调递减；5．（2020·全国·统考高考真题）已知函数2()exfxaxx，当a=1时，讨论f（x）的单调性【答案】（1）当,0x时，'0,fxfx单调递减，当0,x时，'0,fxfx单调递增.【详解】(1)当1a时，2exfxxx，e21xfxx，由于''e20xfx，故'fx单调递增，注意到00f，故：当,0x时，0,fxfx单调递减，【淘宝店铺：向阳百分百】当0,x时，0,fxfx单调递增.技法02含参函数且导函数可分解型函数的单调性例2-1．（2023·河北唐山模拟）已知函数exfxaax．讨论fx的单调性；【详解】因为()exfxaax，定义域为R，所以e1xfxa，当0a时，由于e0x，则e0xa，故0e1xfxa恒成立，所以fx在R上单调递减；当0a时，令e10xfxa，解得lnxa，当lnxa时，0fx，则fx在,lna上单调递减；当lnxa时，()0fx¢，则fx在ln,a上单调递增；综上：当0a时，fx在R上单调递减；当0a时，fx在,lna上单调递减，fx在ln,a上单调递增.例2-2．（2023·全国·模拟预测）已知函数21e,R2xfxaxxxx．讨论函数()fx的单调性．函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由题意函数()fx的定义域为R,ee11e1xxxfxaxxxa．当0a时，若,1,0xfx，则()fx单调递增；若1,,0xfx，则()fx单调递减．当0a时，令()0fx，得=1x或lnxa．①当1lna时，ea，则()0,()fxfx在R上单调递增．②当ln1a时，ea，则当(,ln)xa时，()0,()fxfx单调递增；当ln,1xa时，()0,()fxfx单调递减；当(1,)x时，()0,()fxfx单调递增．③当ln1a时，0ea，则当(,1)x时，()0,()fxfx单调递增；当1,lnxa时，()0,()fxfx单调递减；当(ln,)xa时，()0,()fxfx单调递增．综上，当0a时，()fx在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减；当0ea时，()fx在,1,ln,a上单调递增，在1,lna上单调递减；当ea时，()fx在R上单调递增；当ea时，()fx在,ln,1,a上单调递增，在ln,1a上单调递减．例2-3．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知函数2()e(2)e1xxfxaax，讨论()fx的单调性；【详解】对2()e(2)e1xxfxaax求导得，2()2e(2)1e2eexxxxfxaaa，分以下两大情形来讨论()fx的单调性：情形一：当0a时，有2e0xa，令01()2eexxfax，解得0x，所以当0x时，有01()2eexxfax，此时()fx单调递减，【淘宝店铺：向阳百分百】当0x时，有01()2eexxfax，此时()fx单调递增；所以()fx在,0单调递减，在0,单调递增；情形二：当a0时，令01()2eexxfax，解得120,ln2axx，接下来又分三种小情形来讨论()fx的单调性：情形（1）：当2a时，有120ln2axx，此时12,),,ee(xxfxfxa随x的变化情况如下表：,00,ln2aln,2a2exae1x()fx()fx由上表可知()fx在,0和ln,2a上单调递增，在0,ln2a上单调递减；情形（2）：当2a时，有120ln2axx，此时2()e10xfx，所以此时()fx在R上单调递增；情形（3）：当20a时，有120ln2axx，此时12,),,ee(xxfxfxa随x的变化情况如下表：,ln2aln,02a0,2exae1x()fx()fx由上表可知()fx在,ln2a和0,上单调递增，在ln,02a上单调递减.【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述：当2a时，()fx在,0和ln,2a上单调递增，在0,ln2a上单调递减；当2a时，()fx在R上单调递增；当20a时，()fx在,ln2a和0,上单调递增，在ln,02a上单调递减；当0a时，()fx在,0上单调递减，在0,上单调递增.1．（2023·全国·模拟预测）已知函数2122exfxxaxaxaR，讨论fx的单调性．【详解】（1）函数212e2xfxxaxaxaR，定义域为,，1e1exxfxxaxaxa，若0a，则e0xa，当1x时，0fx，当1x时，0fx，∴fx在,1上单调递减，在1,上单调递增；若0ea，则ln1a，当ln1ax时，0fx，当lnxa或1x时，0fx，∴fx在ln,1a上单调递减，在,lna和1,上单调递增；若ea，则0fx，∴fx在,上单调递增；若ea，则ln1a，当1lnxa时，0fx，当1x或lnxa时，0fx，∴fx在1,lna上单调递减，在,1和ln,a上单调递增．综上所述，当0a时，fx在,1上单调递减，在1,上单调递增；当0ea时，fx在ln,1a上单调递减，在,lna和1,上单调递增；当ea时，fx在,上单调递增；当ea时，fx在1,lna上单调递减，在,1和ln,a上单调递增．【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·全国·模拟预测）已知函数122