题型16 11类数列通项公式构造解题技巧（解析版）

题型1611类数列通项公式构造解题技巧技法01用na与nS关系求通项公式的解题技巧技法01用与关系求通项公式的解题技巧技法02已知用累加法求通项公式的解题技巧技法03已知用累乘法求通项公式的解题技巧技法04已知用求通项公式的解题技巧技法05已知用求通项公式的解题技巧技法06已知用求通项公式的解题技巧技法07已知用求通项公式的解题技巧技法08已知用求通项公式的解题技巧技法09已知用求通项公式的解题技巧技法10已知用求通项公式的解题技巧技法11构造常数列求通项公式的解题技巧知识迁移2,1,11nssnsannn例1．（2022·全国·统考高考真题）记nS为数列na的前n项和．已知221nnSnan．(1)证明：na是等差数列；(2)若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．（1）因为221nnSnan，即222nnSnnan①，当2n时，21121211nnSnnan②，①②得，22112212211nnnnSnSnnannan，即12212211nnnannana，即1212121nnnanan，所以11nnaa，2n且N*n，所以na是以1为公差的等差数列．1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，14a且*14NnnaSn.(1)求数列na的通项公式;(2)若1221(1)lognnnnbna，求数列nb的前n项和nT.【答案】(1)12nna用与关系求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们按公式解题即可.当1n时，2148aS，当2n时，14nnaS，所以1nnnaaa，即12nnaa2,Nnn，又因为21824aa，满足上式，所以na是以4为首项，2为公比的等比数列，则11422nnna.（2）因为1112212111(1)(1)(1)log(1)1nnnnnnnbnannnn，所以11111111111122311nnnTnnn.2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记nS为数列na的前n项和，且13a，2nnSnann．(1)求数列na的通项公式；(2)设1111nnnnnnaabaa，求数列nb的前n项和nT．【答案】(1)21nan(2)111323nnTn【分析】（1）根据nS与na的关系分析可得数列na是3为首项，2为公差的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；（2）由（1）可得：1111nnnnnbaa，利用裂项相消法运算求解.【详解】（1）因为2nnSnann，可得211111nnSnann，两式相减得2211111nnnanannnann，整理得12nnaa，可知数列na是3为首项，2为公差的等差数列，所以32121nann．（2）由（1）可得：1111111111111nnnnnnnnnnnnnaabaaaaaa，则22311212231111111nnnnnnTbbbaaaaaa11111111323nnnaan，所以111323nnTn．3．（2023·广东·统考二模）记数列na的前n项和为nS，已知16a，且满足1213nnnSSaa.(1)求数列na的通项公式；(2)记数列nb的前n项和为nT，若32nnbna，312nnba，32nnban，求35T.【答案】(1)32nna(2)-36672【分析】（1）利用1nnnaSS得到数列na为等比数列，利用等比数列的通项公式求解；（2）求出33132nnnbbb，然后利用分组求和法求和即可.【详解】（1）因为1213nnnSSaa，则当2n时，123nnnSSaa，两式相减可得11323nnnnaaana，则122nnaan，且当1n时，21223SSaa，解得212aa，所以na是首项为6，公比为2的等比数列，所以16232nnna，即32nna；（2）因为33132323232nnnnnbbbann，则3512345634353636Tbbbbbbbbbb1212121211322211232122a1212212321024323667212.技法02已知nfaann1用累加法求通项公式的解题技巧知识迁移相消求和为分式函数，构造裂项求和为指数函数，构造等比求和为一次函数，构造等差列为常数，构造成等差数，若形如nfnfnfnfAanfaann11,例2．（2023·全国·高三专题练习）在数列{na}中，13a，11(1)nnaann，求通项公式na．原递推式可化为1111nnaann，则21321111,1223aaaa，431134aa，…，1111nnaann，逐项相加，得111naan，故14nan．1．（2023上·江苏·高三专题练习）已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式．【答案】31nnna.累加法求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们注意累加的类型，需强化练习.【分析】得到1231nnnaa，利用累加法求出通项公式.【详解】由1231nnnaa得1231nnnaa，则11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa122312312313nn11223132333313223113nnnnnnn2．（2023·江苏南京·校考二模）已知数列na的前n项和为nS，满足*111,112,nnananannN.(1)求23,aa的值，并求数列na的通项公式.(2)令12nnnba，求数列nb的前n项和.【答案】(1)23a，35a，*21Nnann(2)2332nnnT【分析】（1）根据递推公式分别计算23,aa的值，然后构造数列，利用累加法求出通项公式；（2）错位相减法求和.【详解】（1）*111,112,Nnnananann，当2n时，23a；当3n时，35a，*11111112,N111nnnnaananannnnnnnn，1111111nnaannnnnn，112121111221nnnnnaaaaaaaannnnn1111111112112nnnnn，又*11,21Nnaann（2）由（1）得212nnnb，23135212222nnnT，231113232122222nnnnnT，23111111212222222nnnnT21111112122212212nnn，2332nnnT3．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列na满足21111,3nnnaaaanN，则（）A．100521002aB．100510032aC．100731002aD．100710042a【答案】B【分析】先通过递推关系式确定na除去1a，其他项都在0,1范围内，再利用递推公式变形得到1111133nnnaaa，累加可求出11(2)3nna，得出1001003a，再利用11111111333132nnnaaann，累加可求出111111113323nnan，再次放缩可得出10051002a．【详解】∵11a，易得220,13a，依次类推可得0,1na由题意，1113nnnaaa，即1131133nnnnnaaaaa，∴1111133nnnaaa，即211113aa，321113aa，431113aa，…，1111,(2)3nnnaa，累加可得11113nna，即11(2),(2)3nnna，∴3,22nann，即100134a，100100100334a,又11111111,(2)333132nnnnaaann，∴211111132aa，321111133aa，431111134aa，…，111111,(3)3nnnaan，累加可得11111111,(3)3323nnnan，∴100111111111333349639323100326a，即100140a，∴100140a，即10051002a；综上：100510032a．故选：B．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.4．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列na满足111,N1nnnaaana.记数列na的前n项和为nS，则（）A．100332SB．10034SC．100942SD．100952S【答案】A【分析】显然可知，10032S，利用倒数法得到2111111124nnnnaaaa，再放缩可得11112nnaa，由累加法可得24(1)nan，进而由11nnnaaa局部放缩可得113nnanan，然后利用累乘法求得6(1)(2)nann，最后根据裂项相消法即可得到1003S，从而得解．【详解】因为111,N1nnnaaana，所以0na，10032S．由211111111241nnnnnnnaaaaaaa21111111122nnnnaaaa，即11112nnaa根据累加法可得，1111,222nnnna，当1n时11112a，则112nna，当且仅当1n时等号成立，12412(1)3111nnnnnnaanaaannan113nnanan，由累乘法可得6,2(1)(2)nannn，且16(11)(12)a，则6(1)(2)nann，当且仅当1n时取等号，由裂项求和法得：所以100111111111