专题07 利用导函数研究函数零点问题(典型题型归类训练) (原卷版）

专题07利用导函数研究函数零点问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.........................................................................................................1二、典型题型.........................................................................................................2题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题...................................................2题型二：证明唯一零点问题.............................................................................3题型三：根据零点（根）的个数求参数..........................................................4三、专项训练.........................................................................................................6一、必备秘籍1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数()yfx，把使()0fx的实数x叫做函数()yfx的零点．（2）三个等价关系方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点的横坐标函数)(xfy有零点．2、函数零点的判定如果函数()yfx在区间[,]ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么函数()yfx在区间(,)ab内有零点，即存在(,)cab，使得()0fc，这个c也就是()0fx的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点3、利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．4、利用函数的零点求参数范围的方法(1)分离参数(()agx)后，将原问题转化为()ygx的值域(最值)问题或转化为直线ya与()ygx的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．二、典型题型题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）已知函数ln2fxxaxa．(1)若1a，求曲线yfx在点e,ef处的切线方程；(2)讨论函数fx的零点个数．2．（2023·陕西渭南·校考模拟预测）已知函数()e1xfxax，其中e为自然对数的底数．(1)求()fx的单调区间：(2)讨论函数()fx在区间[0]1，上零点的个数．3．（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设函数21ln2fxxmx，21gxxmx，0m.(1)求函数fx的单调区间；(2)当m1时，讨论fx与gx图象的交点个数．4．（2023上·上海虹口·高三校考期中）函数()sincosfxxx，()lngxx(1)求函数()yfx在点(0,1)的切线方程；(2)函数22()mygxx，R,0mm，是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；(3)若Rm，请讨论关于x的方程2()2egxxxmx解的个数情况．5．（2023上·广东揭阳·高三统考期中）给定函数2exfxx.(1)讨论函数fx的单调性，并求出fx的极值；(2)讨论方程Rfxaa解的个数.题型二：证明唯一零点问题1．（2023上·广东珠海·高三校考阶段练习）已知函数2sincosfxxxxx，yfx为yfx的导数．(1)求曲线yfx在ππ,22f处的切线方程：(2)证明：yfx在区间0,π存在唯一零点；2．（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知函数lnfxxx，elnxgxxa，且函数fx的零点是函数gx的零点．(1)求实数a的值；(2)证明：ygx有唯一零点．3．（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知函数()lnfxaxx，aR．(1)过坐标原点作()fx的切线，求该切线的方程；(2)证明：当a0时，2()0fxax只有一个实数根．题型三：根据零点（根）的个数求参数1．（2023上·北京·高三景山学校校考期中）已知函数31()ln()(0)3fxaxxa.(1)当2a时，求曲线()yfx在点11,22f处的切线方程；(2)讨论函数()fx的单调性；(3)当1a时，设()()gxfxt，若()gx有两个不同的零点，求参数t的取值范围.2．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数2e,xfxxkxkR.(1)当0k时，求函数fx在22,上的值域；(2)若函数fx在0,上仅有两个零点，求实数k的取值范围.3．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数321(),()()3fxxaxgxxaaR.(1)若函数()()()Fxfxgx在[1,)x上单调递增，求a的最小值；(2)若函数()()()Gxfxgx的图象与yax有且只有一个交点，求a的取值范围．4．（2023下·湖南衡阳·高二校考阶段练习）已知函数322123fxxkxkx，21(gxkx其中)kR．(1)讨论函数fx的单调性；(2)若方程fxgx有三个根，求k的取值范围．5．（2023下·浙江衢州·高二统考期末）已知函数exxfx(1)若过点0,m作函数fx的切线有且仅有两条，求m的值；(2)若对于任意,0k，直线ykxb与曲线0,yfxx都有唯一交点，求实数b的取值范围.三、专项训练一、单选题1．（2024上·广东江门·高三统考阶段练习）直线0xy与函数2lnyxx的图象公共点的个数为（）A．0B．1C．2D．32．（2023上·河北·高三校联考期末）已知函数elnxafxxa有两个零点，则a的取值范围为（）A．1,B．e,C．1,D．e,3．（2023下·广东阳江·高二校考期中）若函数3()3fxxxk在R上只有一个零点，则常数k的取值范围是（）A．(,1)B．(2,)C．,1(),)1(D．(,2)(2,)二、填空题4．（2023上·江苏常州·高三统考期中）若关于x的方程ln2xtx有两个不相等的实数根，则实数t的取值范围是．5．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知函数21,0e,0xxxfxxxx，若关于x的不等式20fxafx恰有一个整数解，则实数a的取值范围为.6．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）已知函数exfxx的图象与函数lngxaxax的图象有两个交点，则实数a的取值范围是．三、问答题7．（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）已知函数3222fxxxaxaR．(1)若函数yfx在1,x上单调递增，求a的取值范围；(2)若函数yfx的图象与1yax有且只有一个交点，求a的取值范围．8．（2023上·吉林长春·高一吉林省实验校考期中）已知函数22lnfxxaxax，Ra(1)求函数的单调区间与极值点；(2)若4a，方程()0fxm有三个不同的根，求m的取值范围．9．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数2sincosfxxxxx．(1)若曲线yfx在点00,xfx处的切线与x轴平行，求该切线方程；(2)讨论曲线yfx与直线ya的交点个数．10．（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）给定函数3exfxx(1)判断fx的单调性并求极值；(2)讨论Rfxmm解的个数．11．（2023上·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）若函数2fxxxc在3x处有极小值．(1)求c的值．(2)函数26931gxfxxax恰有一个零点，求实数a的取值范围．12．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数lnRfxaxxa.(1)讨论fx的单调性；(2)若fx在21,ee上存2个零点，求a的取值范围.13．（2023上·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知函数22lnRfxxxaxa.(1)当0a时，求fx的单调区间；(2)若函数gxfxaxm在1,ee上有两个零点，求实数m的取值范围.四、证明题14．（2023上·北京朝阳·高三校考阶段练习）已知函数.ecos.xfxxx(1)求证：当π20,x时，1fx；(2)求fx在0,2π的零点个数.