专题07 解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)（原卷版）

专题07解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍......................................................1二、典型题型......................................................2题型一：求三角形面积（定值问题）................................2题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）............4题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）..........6三、专项训练......................................................8一、必备秘籍基本公式1、正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）12sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（）(边化角公式）2sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）3::sin:sin:sinabcABC（）基本公式2、余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab基本公式3、常用的三角形面积公式（1）高底21ABCS；（2）BcaAbcCabSABCsin21sin21sin21（两边夹一角）；核心秘籍1、基本不等式①2abab②222abab核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）利用正弦定理2sinaRA，2sinbRB，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.二、典型题型题型一：求三角形面积（定值问题）1．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sinsin2BbCc．(1)求角B；(2)若13,3bca，求ABC的面积．2．（2023·湖南永州·统考一模）在ABC中，设,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足coscoscAaCab．(1)求角C；(2)若5,cABC的内切圆半径34r，求ABC的面积．3．（2023·云南·校联考模拟预测）已知2()3sincossinfxxxx．在ABC中，3()2fA．(1)求角A的大小；(2)D是边BC上的一点，且sin2sinCB，AD平分BAC，且2AD，求ABC的面积．4．（2023·福建·校联考模拟预测）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3a，3cossin3BaBc，且coscosbBcC.(1)求A；(2)求ABC的面积.5．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）如图，在四边形ABCD中，DAB与DCB互补，6,4,4,2ABBCCDAD．(1)求AC；(2)求四边形ABCD的面积．6．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）设ABC的内角ABC，，所对边分别为,,,,Nabcabc，若1cossin2cossinBBAA．(1)求acb的值;(2)若ab且三个内角中最大角是最小角的两倍，当ABC周长取最小值时，求ABC的面积．题型二：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，且cos3sincAcAab.(1)求角C；(2)若ABC的中线CD长为23，求ABC面积的最大值.2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3sinsin2BCbaB，边BC上有一动点D.(1)求角A的大小；(2)当D为边BC中点时，3AD，求ABC面积的最大值.3．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3coscos22ABC.(1)求角C的大小；(2)若6c，求ABC的面积S的最大值.4．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）在ABC中，内角ABC､､的对边分别为abc､､，从①sinsinsinsinCBcaCAb，②2coscoscbAaB，③3cossin0BCA，这三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是___________，并解答下面问题：(1)求角A的大小；(2)若2a，求ABC面积的最大值.5．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知ABC的内角,,ABC的对边分别是,,abc，6sinsinsinsin2aAbBcCaB．(1)求cosC；(2)若10c，求ABC面积的最大值．6．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sin1cossincocossin2s2CCBCCB．(1)求A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且2AD，求ABC面积的最小值．题型三：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知向量sin,1ax，3cos,2bx，函数fxaba.(1)若//ab，求cos2x的值；(2)已知ABC为锐角三角形，a，b，c为ABC的内角A，B，C的对边，2b，且12fA，求ABC面积的取值范围.2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sincosabAB，3a．(1)若BC边上的高等于1，求cosA；(2)若ABC为锐角三角形，求ABC的面积的取值范围．3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，P是边长为2的正三角形ABC所在平面上一点（点A、B、C、P逆时针排列），且满足CPCA，记CAP.(1)若π3，求PB的长；(2)用表示PAB的面积S，并求S的取值范围.4．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知a、b、c分别为ABC的三个内角A、B、C的对边长，2a，且(2)(sinsin)bAB(sinsin)cBC．(1)求角A的值；(2)求ABC面积的取值范围．5．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且23()()cos3babaacBS．(1)求角A的大小；(2)若23a，求S的取值范围．三、专项训练1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2510,5,cos5abA，则ABC的面积为（）A．52B．5C．10D．1022．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为()()()Sppapbpc，其中2abcp，这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin3sinsin5ABC，a＝6，则ABC面积的最大值为（）A．8B．12C．16D．203．（2023·四川宜宾·统考三模）在ABC中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若2ba，2c，则ABC面积的最大值是（）A．2B．2C．43D．234．（2023·西藏拉萨·统考一模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1cos2coscCaA，4c，3C，则ABC的面积为（）A．23B．43C．12D．165．（2023·甘肃·统考一模）在如图所示的平面四边形ABCD中，3AD，3ABBCCD，记△ABD，△BCD的面积分别为12,SS，则2212SS的最大值为.6．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）在ABC中，已知2ADDC，3ACBC，sin3sinBDCBAC，当||CACBAB取得最小值时，ABC的面积为7．（2023·四川·校联考一模）在ABC中，2AB，π4C，当2BCAC取最大值时，ABC的面积为.8．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）在△ABC中，若10BC，8AC且37tan31AB，则ABC的面积是．9．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在ABC中，π3ABC，点D在线段AC上，且=ADDC，=3BD，则ABC面积的最大值为．10．（2023·福建泉州·统考模拟预测）ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足cos2cos0cBbaC.(1)求C；(2)若CD平分ACB，且2ADDB，2CD，求ABC的面积.11．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数233()sin23sin22fxxx.(1)求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；(2)在ABC中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc，且31,1bca，若3()2fA，求ABC的面积.12．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，满足sin1BC，且coscostan2bCcBAa．(1)求A的大小；(2)若3a，求ABC的面积．13．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数221cossin,0,π2yfxxxx(1)求fx的单调增区间;(2)设ABC是锐角三角形，角、、ABC的对边分别为,,,19,5abcab，若0fA，求ABC的面积.14．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，平面四边形OACB中，ABC的三内角,,ABC对应的三边为,,abc．给出以下三个条件：①2cos2cos22sin2sinsinACBAB②sinsin2ABacA③ABC的面积为22234abc(1)从以上三个条件中任选一个，求角C；(2)设2,OAOBABAC，在（1）的条件下，求四边形OACB的面积的最大值．15．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）设函数sincosfxxx，π0,2，π132f．(1)求函数fx的单调递增区间；(2)已知凸四边形ABCD中，2ABAC，4AD，1fBAD，求凸四边形ABCD面积的最大值．16．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）凸四边形ABCD中，2AD，3AB，4BD，7cos8BCD．(1)当6CD，且BCCD时，证明：//ADBC；(2)求四边形ABCD的面积的最大值．17．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知22sinsinsin2sin0BBCC．(1)求bc的值；(2)若4BC，求三角形ABC面积的最大值．18．（2023·河南·模拟预测）ABC的内角A，B，C的对边分别为,,abc，2coscaCb，2223cabac，2b.(1)求A；(2)若,MN在线段BC上且和,BC都不重合，π3MAN，求AMN面积的取值范围.19．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin31cosaBbA．(1)求角A的大小；(2)若D是BC上一点，且2,1CDDBAD，求ABC面积的最大值．