专题10 数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)（原卷版）

专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)目录一、典型题型......................................................1题型一：插入新数列构成等差......................................1题型二：插入新数列构成等比......................................3题型三：插入新数混合............................................4二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练..................5一、典型题型题型一：插入新数列构成等差例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列na的前项和为nS，且满足：*1,NnnaSn(1)求数列na的通项公式；(2)在na与1na之间插入n个数，使这2n个数组成一个公差为nd的等差数列，在数列nd中是否存在三项,,mtkddd（其中,,mkt成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列na的首项12a，公差8d，在na中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列nb．(1)求数列nb的通项公式．(2)29b是不是数列na的项？若是，它是na的第几项？若不是，说明理由．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列na和其前n项和nS满足5142342,aaSaaa.(1)求na的通项公式；(2)在ma和1ma+之间插入m个数，使得这2m个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为mb，求满足50mb的正整数m的最小值.例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列na的前n项和为nS，*12nnaSnN．(1)求数列na的通项公式；(2)在na与1na之间插入n个数，使这2n个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为nT，若不等式312nnnT对一切*nN恒成立，求实数的取值范围；例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列na的前n项和为nS，且22nnSa.(1)求2a及数列na的通项公式；(2)在na与1na之间插入n个数，使得这2n个数依次组成公差为nd的等差数列，求数列1nd的前n项和nT.题型二：插入新数列构成等比例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列43n中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为na，再在数列na插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列nb.若729kb，则数列nb中第k项前（不含kb）插入的项的和最小为（）A．30B．91C．273D．820例题2．（2023·全国·高三专题练习）在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于.例题3．（2023·高二课时练习）设ab，在a，b之间插入n个实数1x，2x，…，nx，使得这2n个数成等差数列，则有结论1212nabxxxn成立．若0ab，在a，b之间插入n个正数1x，2x，…，nx，使得这2n个数成等比数列，则有相应的结论成立．例题4．（2023·全国·高二专题练习）回答下面两个问题(1)在等差数列中，已知2d，1510a，求a1与Sn．(2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式．例题5．（2023春·福建·高二校联考阶段练习）数列na的前n项和为12,2,4nSaa且当2n时，113,2,2nnnnSSS成等差数列.(1)计算34,aa，猜想数列na的通项公式并加以证明；(2)在na和1na之间插入n个数，使这2n个数组成一个公差为nd的等差数列，在数列nd中是否存在3项,,mkpddd（其中,,mkp成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.题型三：插入新数混合例题1．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知各项均为正数的数列na满足11a，2121nnaSnnN．其中nS是数列na的前n项和．(1)求数列na的通项公式；(2)在ka和1kakN中插入k个相同的数11kk，构成一个新数列1234:1,,2,2,,3,3,3,,nbaaaa，，求nb的前100项和100T．例题2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）nS为数列na的前n项和，已知2634nnnSaa，且0na.(1)求数列na的通项公式na；(2)数列nb依次为：23456789101234,3,,3,3,,3,3,3,,3,3,3,3aaaa，规律是在ka和1ka中间插入*Nkk项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列nb的前100项的和.例题3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列na的首项为12a，公比为q（q为正整数），且满足33a是18a与5a的等差中项；数列nb满足23202nnntbnb（tR，*nN）.(1)求数列na的通项公式；(2)试确定t的值，使得数列nb为等差数列；(3)当nb为等差数列时，对每个正整数k，在ka与1ka之间插入kb个2，得到一个新数列nc.设nT是数列nc的前n项和，试求100T.例题4．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列na满足1112322,1,2nnnaaanaa.(1)求数列na的通项公式；(2)在数列na的任意ka与1ka项之间，都插入*Nkk个相同的数(1)kk，组成数列nb，记数列nb的前n项的和为nT，求27T的值.例题5．（2023·全国·高三专题练习）记数列{}na的前n项和为nS，对任意正整数n，有2nnSna，且23a.(1)求数列{}na的通项公式；(2)对所有正整数m，若12kkama，则在ka和1ka两项中插入2m，由此得到一个新数列{}nb，求{}nb的前40项和.二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练一、单选题1．（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列na满足2nna，在na和1na之间插入n个1，构成数列nb：12341,1,1,1,1,,,,,,1aaaaL，则数列nb的前18项的和为（）A．43B．44C．75D．762．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列na的通项公式为12nna，保持数列na中各项顺序不变，对任意的kN，在数列na的ka与1ka项之间，都插入kkN个相同的数(1)kk，组成数列nb，记数列nb的前n项的和为nT，则100T（）A．4056B．4096C．8152D．81923．（2023·全国·高三专题练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为na，在数列na的任意相邻两项ka与1ka（1k，2，L）之间插入2k个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列nb．按新数列nb的各项依次派遣支教学生．记70S为派遣了70批学生后支教学生的总数，则70S的值为（）A．387B．388C．389D．3904．（2023·全国·高三专题练习）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为{}na，则1025a的值是（）A．6B．12C．18D．108二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法正确的是（）．A．插入的第8个数为2B．插入的第5个数是插入的第1个数的32倍C．3MD．7N三、填空题6．（2023春·高二校考课时练习）在1和17之间插入n个数，使这2n个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当125ab取最小值时，n.7．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列na的通项公式515nan，在数列na的任意相邻两项ka与11,2,kak之间插入2k个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列nb，记新数列nb的前n项和为nS，则60S的值为．四、解答题8．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）已知等比数列na的前n项和为nS，且满足1112nnSa.(1)求数列na的通项na；(2)在na和1na之间插入n1个数，使这1n个数组成一个公差为nd的等差数列，求证：1494niid.9．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列na的前n项和为12,2,4nSaa且当2n时，113,2,2nnnnSSS成等差数列.(1)求数列na的通项公式；(2)在na和1na之间插入n个数，使这2n个数组成一个公差为nd的等差数列，在数列nd中是否存在3项,,mkpddd（其中,,mkp成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.10．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，且21nnS．(1)求na的通项公式；(2)保持na中各项先后顺序不变，在ka与1ka之间插入k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列nb，记nb的前n项和为nT，求100T的值（用数字作答）．11．（2023春·江苏扬州·高二扬州中学校考期中）已知数列na是等差数列，其前n和为nS，292,45aS，数列nb满足1122(1)21nnnabababn(1)求数列na，nb的通项公式;(2)若对数列na，nb，在ka与1ka之间插入kb个2（N*k），组成一个新数列nd，求数列nd的前2023项的和2023T.12．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知公差大于0的等差数列na满足2411aaa，35a.(1)求na的通项公式；(2)在na与1na之间插入2n个2，构成新数列nb，求数列nb的前110项的和110S.