专题04 导数及其应用（4大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题04导数及其应用易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用）一、导数的概念和几何性质1．概念函数()fx在0xx处瞬时变化率是0000()()limlimxxfxxfxyxx，我们称它为函数yfx在0xx处的导数，记作0()fx或0xxy．诠释：①增量x可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x的意义：x与0之间距离要多近有多近，即|0|x可以小于给定的任意小的正数；②当0x时，y在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()fxxfxyxx无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx．2．几何意义函数()yfx在0xx处的导数0()fx的几何意义即为函数()yfx在点00()Pxy，处的切线的斜率．3．物理意义函数)(tss在点0t处的导数)(0ts是物体在0t时刻的瞬时速度v，即)(0tsv；)(tvv在点0t的导数)(0tv是物体在0t时刻的瞬时加速度a，即)(0tva．二、导数的运算1．求导的基本公式基本初等函数导函数()fxc（c为常数）()0fx资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】()afxx()aQ1()afxax()xfxa(01)aa，()lnxfxaa()log(01)afxxaa，1()lnfxxa()xfxe()xfxe()lnfxx1()fxx()sinfxx()cosfxx()cosfxx()sinfxx2．导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()fxgxfxgx；（2）函数积的求导法则：[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx；（3）函数商的求导法则：()0gx，则2()()()()()[]()()fxfxgxfxgxgxgx．3．复合函数求导数复合函数[()]yfgx的导数和函数()yfu，()ugx的导数间关系为xuxyyu：应用1．在点的切线方程切线方程000()()()yfxfxxx的计算：函数()yfx在点00(())Axfx，处的切线方程为000()()()yfxfxxx，抓住关键000()()yfxkfx．应用2．过点的切线方程设切点为00()Pxy，，则斜率0()kfx，过切点的切线方程为：000()()yyfxxx，又因为切线方程过点()Amn，，所以000()()nyfxmx然后解出0x的值．（0x有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．易错提醒：1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】向内逐层求导，必要时可换元2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．（3）曲线yfx＝“在”点00(,)Pxy处的切线与“过”点00(,)Pxy的切线的区别：曲线yfx＝在点00(,)Pxy处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为0kfx＝，是唯一的一条切线；曲线yfx＝过点00(,)Pxy的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．例．已知函数2elnfxaxxx．(1)当ea时，求曲线yfx在1x处的切线方程；(2)若0x，都有5ln2fxx，求a的取值范围．【详解】（1）解：当ea时，2eeln,2eelnefxxxxfxxx，因为1e,1eff，所以，曲线yfx在1x处的切线方程是ee1yx，即eyx．（2）因为0x，都有5ln2fxx，所以2max5elnln2xxxax．设25elnln2xxxgxx，则3eeln2ln4xxxxgxx．记eeln2ln4hxxxxx，设2elnmxhxxx，则22exmxx，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当20ex时，0mx，当2ex时，0mx，所以mx在20,e上单调递增，在2,e上单调递减，所以2eln20emxm，所以0hx，所以hx在0,上单调递减．因为10eh，当10ex时，0gx，当1ex时，0gx，所以gx在10,e上单调递增，在1,e上单调递减，所以21ee2gxg，所以，22ea．变式1．已知函数2e1xfxaxx.(1)当1a时，求曲线yfx在1x处的切线方程；(2)若0fx有两个不等的实根，求实数a的取值范围.【详解】（1）当1a时，2e1,e21xxfxxxfxx，1e1,1e1,ff所以曲线yfx在1x处的切线方程为e1e11yx，即e10xy.（2）显然00f，要使方程0fx有两个不等的实根，只需当0x时，0fx有且仅有一个实根，当0x时，由方程0fx，得2e1xxax.令2e10xxgxxx，则直线ya与2e10xxgxxx的图象有且仅有一个交点.243e12e12e1xxxxxxxgxxx.又当0x时，0,gxgx单调递减，当02x时，0,gxgx单调递减，当2x时，0,gxgx单调递增，所以当2x时，gx取得极小值2e124g，又当0x时，e1x，所以e10xx，即0gx，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当0x时，e1,e10xxx，即0gx，所以作出gx的大致图象如图所示.由图象，知要使直线ya与2e10xxgxxx的图象有且仅有一个交点，只需a0或2e14a.综上，若0fx有两个不等的实根，则a的取值范围为2e1,04.变式2．已知函数ln10fxxaxa.(1)当0a时，求过原点且与fx的图象相切的直线方程；(2)若e0axfxgxax有两个不同的零点1212,0xxxx，不等式312emxx恒成立，求实数m的取值范围.【详解】（1）易知fx的定义域为10,,fxx，设切点坐标00,ln1xx，则切线方程为：0001ln1yxxxx，把点0,0带入切线得：20ex，所以，fx的切线方程为：21eyx；（2）33121212elnln3lnmxxxxxxm，又e0axfxgxax有两个不同零点，则lnln1eln10exaxaxxxaxxax有两个不同零点，构造函数e1xuxxe10xux，则ux为,增函数，且00u，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即方程ln0xax有两个不等实根1122lnlnaxxaxx，令2211ln1lnxxtxx，则12lnlnln,ln11tttxxtt，则1213ln3lnln1txxtt，设13ln11xhxxxx，方法一、原不等式恒成立等价于113lnln0131mxxxmxxx恒成立，令2221964114ln1313131xmmxmxnxxxnxxxxxx，由1196xyxx单调递增，即19616yxx，若4160mnxnx单调递增，即10nxn恒成立，此时4m符合题意；若14169640mxmx有解0x，此时有01,xx时，0nxnx单调递减，则010nxn，不符合题意；综上所述：m的取值范围为,4.方法二、2114ln321hxxxxx，设14ln32pxxxx，23110xxpxx在1,恒成立，px在1,单调递增，10pxp，则hx在1,单调递增，所以1hxh，1111133ln13ln13lnlimlimlimlim411'1xxxxxxxxxxxhxxx，所以m的取值范围为,4.变式3．已知函数2lnfxxx．(1)求曲线yfx在1,1f处的切线方程；(2)若对0,x，22fxaxx恒成立．求实数a的取值范围．【详解】（1）解：12(0)fxxx，所求切线斜率为11f，切点为()1,2-，故所求切线方程为21yx，即10xy.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）方法一：分离变量由22fxaxx得2lnxax在0,恒成立，令2ln(0)xgxxx，则max()agx，312lnxgxx，当0gx时，ex，即：e0g，当0ex时，0gx；当ex时，0gx，故gx在0,e上单调递增，在e,上单调递减，故当ex时，gx取最大值为12e，故12ea，即a的取值范围是1,2e.方法二：分类讨论由22fxaxx得2ln0axx在0,恒成立，令2ln(0)gxaxxx，则21212axgxaxxx，①当0a时，0gx恒成立，gx在0,上单调递减，又10ga，故当1x时，0gx，不合题意；②当0a时，令0gx得12xa，令0gx得12xa，令0gx得102xa，故gx在10,2a上单调递减，gx在1,2a上单调递增，故当12xa时，gx取最小值111ln0222gaa，故12ea，即a的取值范围是1,2e，综上所述，a的取值范围是1,2e.方法三：数形结合由22fxaxx得2lnaxx在0,恒成立，令2gxax，lnhxx，则当0x时，gxhx恒成立，2gxax，