专题09 立体几何（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题09立体几何易错点一：对斜二测法规则掌握不牢（斜二测求算面积及周长）水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤空间几何体直观图的画法立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.易错提醒：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.例．如图矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，(1)判断平面四边形OABC的形状并求周长；(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.【解析】（1）将直观图还原得OABC，如下图，所以223,1(22)3OAOC，所以平面四边形OABC为菱形，其周长为3412.（2）四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，得到一个圆柱和两个一样的圆锥，22(22)324Vrh221(22)3l22362Srl圆锥侧，22223122Srh圆柱侧，所以2242SSS表圆柱侧圆锥侧.变形1．如图，梯形1111DCBA是一水平放置的平面图形ABCD在斜二测画法下的直观图.若11AD平行于y轴，11111111112,2,13ABCDABCDAD∥，求梯形ABCD的面积.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】如图，根据直观图画法的规则，直观图中11AD平行于y轴，111AD，⇒原图中//ADOy，从而得出AD⊥DC，且1122ADAD，直观图中1111//ABCD，1111223ABCD，⇒原图中//ABCD，223ABCD，即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图．故其面积123252S.变形2．如图所示，正方形OABC是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中2OA．(1)求原图形的面积；(2)将原图形以OA所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC与正方形OABC的各点分别一对应，如OB对应直观图中的OB）【解析】（1）原图形OABC是个平行四边形，如下图所示底为OA＝2，高为222242OBOB，∴82OABCSOAOB；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，另一侧有多出一个相同的圆锥，∴几何体体积242264V∴几何体表面积222422242(42)2642S变形3．（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；（2）在(1)中若2AC＝，//BDy轴且1.5BD＝，求原平面图形△ABC的面积．【解析】（1）画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OAOA＝，即CACA＝.②在题图中，过B作//BDy轴，交x′轴于D，在x轴上取ODOD＝，过D作//DBy轴，并使2DBDB＝.③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．（2）∵//BDy，∴BD⊥AC.又1.5BD＝且2AC＝，∴32BDAC＝，＝.∴132ABCSBDAC.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．如图，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，(1)画出它的原图形，(2)若2,ACABC的面积是32，求原图形中AC边上的高和原图形的面积.【解析】（1）画出平面直角坐标系xOy，在x轴上取OAOA，即CACA，在图①中，过B作//BDy轴，交x轴于D¢，在x轴上取ODOD，过点D作//DBy轴，并使2DBDB,连接AB，BC，则ABC即为ABC原来的图形，如图②所示：（2）由（1）知，原图形中，BDAC于点D，则BD为原图形中AC边上的高，且2BDBD，在直观图中作BEAC于点E，则ABC的面积1322ABCSACBEBE，在直角三角形BED中，622BDBE，所以26BDBD，所以1S62ABCACBD.故原图形中AC边上的高为6，原图形的面积为6.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图ABCD，并求出直观图中三角形BCDⅱ?的面积.【解析】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形ABCD的直观图ABCD，如图所示，则BCDV的面积为1123262224BCDS.3．用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知3AB，1BC，3AD，且ADBC∥．(1)求原平面图形ABCD的面积；(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．【解析】（1）还原平面图形ABCD，如图，因为3AB，1BC，3AD，且ADBC∥，所以3AB，2BC，6AD，且ADBC∥，ABAD，原平面图形ABCD为直角梯形，故(26)3122ABCDS；（2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，如图，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5，所以几何体的表面积为S2π352π36π360π，几何体的体积为221π36π3442π.3V4．如图所示，正方形OABC是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中1OA.(1)求原图形的面积；(2)将原图形以OA所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形OABC与正方形OABC的各点分别对应，如OB对应直观图中的OB）【解析】（1）原图形OABC是个平行四边形，如下图所示，底为1OA，高为222OBOB.12222OABCSOAOB.（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，另一侧有多出一个相同的圆锥.几何体表面积22π2212π22(22)1162πS.几何体体积2π(22)18πV.5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示，已知5AB，92,2BCAD且ADBC∥.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求原平面图形ABCD的面积；(2)将原平面图形ABCD绕AD旋转一周，求所形成的几何体的体积.【解析】（1）将直观图复原为原图，如图，作ECAD，则90DABABC，49,5,AADBBC，则5DEEC，4AE，即原图形ABCD为直角梯形，故原平面图形ABCD的面积为4965522S.（2）将原平面图形ABCD绕AD旋转一周，所形成的几何体是一个以EC为底面半径的圆锥和一个以AB为底面半径的圆柱组成的组合体，其体积为221425ππ55π5433VVV圆锥圆柱.6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示．已知1524ABBCAD,,，且AD∥BC．(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形ABCD并求面积；(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．【解析】（1）如图所示：梯形ABCD为还原的平面图形，作CEAD交AD于点，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为542ADABBC,,，所以345DEECDC,,，所以254142ABCDS．（2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个以AB为底面半径的圆柱挖去一个以EC为底面半径的圆锥，4520πS圆锥侧，24540πS圆柱侧，16πS圆柱下底，所以所形成的几何体的表面积为SSSS圆锥侧圆柱侧圆柱下底20π40π16π76π，2π4580πV圆柱，21π4316π3V圆锥，所形成的几何体的体积为80π16π64πVVV圆柱圆锥．7．如图，梯形OABC是水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图，已知OABC∥，2OA，3OBBC．(1)在下面给定的表格中画出四边形OABC（不需写作图过程）；(2)若四边形OABC以OA所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积．【解析】（1）因为OA与x轴重合，则OA与x轴重合，且2OAOA；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】BC与x轴平行，则BC与x轴平行，且3BCBC；OB与y轴重合，则OB与y轴重合，且26OBOB；连接,ABOC，即可得四边形OABC.（2）如图所示，所得几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱截取一个圆锥，故体积为1136π236π336π396π33V.8．如图，一个水平放置的平面图形的直观图ABCD是边长为2的菱形，且2OD，求原平面图形的周长．【解析】由题可知，2ODAD，45AOD，∴22OA．还原直观图可得原平面图形，如图所示：则24ODOD，22OAOA，2ABDC，∴2222(22)426ADOAOD，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴原平面图形的周长为464．9．如图所示，OABC为四边形OABC的斜二测直观图，其中3OA，1OC，1BC．(1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．【解析】（1）解：在直观图中3OA，1OC，1BC．所以在平面图形中3OA，22OCOC，1BCBC，所以222222AB，所以平面四边形OABC的平面图形如下图所示：由上图可知，平面四边形OABC为直角梯形，所以面积为13242．（2）旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，由（1）可知几何体底面圆半径为2r，圆柱母线长和高都为1，即111hl；圆锥的高为22h，母线长为222l所以体积221218204333VVVrhrh柱锥；所以表面积21224442842Srrlrl．10．如图，矩形OABC是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中3OA，1OC.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)画出平面四边形OABC的平面图，并计算其面积；(2)若该四边形OABC以OA为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.【解析】（1）如图1，设Oy与BC交点为D¢，因为1OC，45COy，所以2OD，1CD.OABC的平面图如图2所示：则222ODOD，32262OABCSOAOD.（2）由（1）可得，在RtODC△中，有222222219OC