专题11 圆锥曲线（4大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题11圆锥曲线易错点一：求轨迹方程时忽略变量的取值范围（求动点轨迹方程）求轨迹方程共有四大类，具体方法如下：第一类：直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：第一步：建系：建立适当的坐标系第二步：设点：设轨迹上的任一点,Pxy第三步：列式：列出有限制关系的几何等式第四步：代换：将轨迹所满足的条件用含,xy的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为,xy的方程式化简注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．第二类：定义法求动点的轨迹方程回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点P和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．第三类：相关点法求动点的轨迹方程如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(,)Pxy，用(,)xy表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程．第四类：交轨法求动点的轨迹方程在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．易错提醒：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．例．已知R是圆M：2238xy上的动点，点3,0N，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MSNL∥，动点L的轨迹为曲线C.求曲线C的方程；【详解】圆M的圆心为3,0M，半径22r，因为MSNL∥，所以MSRLNR∽△△，又因为MRMS，所以LRLN所以2223LMLNLMLRMRrMN所以点L在以M，N为焦点，22为实轴长的双曲线上设双曲线的方程为22222210,0,xyabcabab，则222a，223c所以2a，3c，1b，又L不可能在x轴上，所以曲线C的方程为22102xyy变式1．在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点1,0F的距离比它到y轴的距离大1，E的轨迹为C.求曲线C的方程；【详解】设动点E的坐标为,xy，由已知得，2211xyx化简得：24,00,0xxyx，故曲线C的方程为24,00,0xxyx变式2．已知y轴右侧一动圆Q与圆P：2211xy相外切，与y轴相切.求动圆圆心Q的轨迹M的方程；【详解】圆P：2211xy，所以圆P的圆心坐标为(1,0)，半径为1资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设(,)(0)Qxyx，依题意有22(1)1xyx化简整理得：24yx，故所求动圆圆心Q的轨迹M的方程为24(0)yxx变式3．已知点0,0O，点0,1F，点M是x轴上的动点，点N在y轴上，直线MN与直线MF垂直，N关于M的对称点为P．求P的轨迹Γ的方程；【详解】方法1：设,0,0,,,MaNbPxy因为MFMN，所以0MFMN，即20ab又2,xayb，所以202xy，所以24xy方法2：如图，设F关于M的对称点为Q，由已知得，,FQNP互相垂直平分所以四边形PFNQ为菱形，所以PFPQ因为M为FQ中点，所以1QFyy，即Q点在定直线1y上，因为PQFN∥，所以PQ与直线1y垂直，即点P到定点0,1F的距离等于点P到定直线1y的距离所以点P的轨迹是以0,1F为焦点，1y为准线的抛物线，所以点P的轨迹Γ的方程为24xy1．已知圆221:(5)1Cxy，圆222:(5)25Cxy，动圆C与圆1C和圆2C均相切，且一个内切、一个外切．求动圆圆心C的轨迹E的方程．【详解】设点C的坐标为(,)xy，圆C的半径为R．由已知条件，得1225CC．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①当动圆C与圆1C外切，与圆2C内切时，121,5CCRCCR，从而12126CCCCCC．②当动圆C与圆1C内切，与圆2C外切时，121,5CCRCCR，从而12126CCCCCC．综上可知，圆心C的轨迹E是以12,CC为焦点，6为长轴长的椭圆．易得圆1C与圆2C交于点6525,55与6525,55，所以动圆圆心C的轨迹E的方程为22651945xyx．2．在平面直角坐标系xOy中，点M到点0,2N的距离等于点M到直线0y的距离，记动点M的轨迹为．(1)求的方程；【详解】设,Mxy，依题意，得222yxy，化简得2114yx，故的方程为2114yx．3．设抛物线的方程为22ypx，其中常数0p，F是抛物线的焦点．(1)若直线3x被抛物线所截得的弦长为6，求p的值；(2)设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线上的动点，求||||PAPF的最大值；(3)设122,pll、是两条互相垂直，且均经过点F的直线，1l与抛物线交于点,AB,2l与抛物线交于点,CD，若点G满足4FGFAFBFCFD，求点G的轨迹方程．【答案】(1)32；(2)2；(3)23yx【分析】（1）可令3x，代入抛物线方程，计算可得弦长继而得P；（2）根据抛物线定义转化线段比值，结合直线与抛物线的位置关系计算即可；（3）设ABCDG、、、、坐标及1l方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理以及两直线垂直的条件，结合向量的坐标表示，以及消元转化，可得所求轨迹方程．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）由3x可得6yp，由题意可知32662pp；（2）易知,02pF，则,02pA，抛物线准线为2px，如图所示，过P作PB准线，垂足为B，由抛物线定义可知PFPB，故PAPAPFPB，设直线AP为2pykx=，PAF，则1cosPAPB，欲求||||PAPF的最大值，即求cos的最小值，显然当直线AP与抛物线相切时，取得最大，此时其余弦最小，联立抛物线方程222pykxypx可得22222204kpkxpkpx，由直线和抛物线相切可得22222Δ24014kppkpkk，结合抛物线对称性，不妨取1k，此时45，即max2PAPF；（3）由已知可知24yx，则1,0F，设11223344,,,,,AxyBxyCxyDxyGxy、、、、，1:1lykx，则21:1lyxk，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1l与抛物线联立可得：2222240kxkxk，即有1212122442,2xxyykxxkk，同理则有23434244224,411xxkyykkk，因为点G满足4FGFAFBFCFD，即1234123441,4,xyxxxxyyyy，故2123412342111,44xxxxyyyyxkykkk，可得23yx，则G的轨迹方程为23yx．4．已知平面上动点E到点()1,0A与到圆22:2150Bxyx的圆心B的距离之和等于该圆的半径.记E的轨迹为曲线.说明是什么曲线，并求的方程；【答案】22143xy【详解】根据题意可知圆22:2150Bxyx可化为22:116Bxy，所以可知圆心1,0B，半径4r，易知()1,0A和1,0B两点关于原点对称，且42EAEBAB，所以由椭圆定义可知E的轨迹是以,AB为焦点，长轴长为24a的椭圆，即2,1ac，可得23b；因此曲线的方程为22143xy.5．已知P为圆M：22216xy上任一点，2,0N，MQMP，0,1，且满足0QPQNPN.求动点Q的轨迹的方程；【答案】22142xy资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】如图，由0QPQNPN，可得QNQP，因为4MQQPMP，所以4NQQM，所以动点Q的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，所以动点Q的轨迹的方程为22142xy.6．已知点A为圆22:21060Cxyx上任意一点，点B的坐标为10,0，线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D．求点D的轨迹E的方程；【答案】22146xy【详解】由22:21060Cxyx得22:(10)61Cxy，其半径为4，因为线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D，故||||DBDA，则||||||||||||||4DCDBDCDAAC,而||84BC，故点D的轨迹E为以,BC为焦点的双曲线，则22224,2,2210,10,6aaccbca，故点D的轨迹E的方程为22146xy.7．已知圆221:14Cxy，一动圆与直线12x相切且与圆C外切．(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；(2)若经过定点6,0Q的直线l与曲线T相交于,AB两点，M是线段AB的中点，过M作资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NANB，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)24yx(2)存在，方程为663xy【分析】（1）利用直接法，设出P点坐标根据相切关系找到等量关系即可求动圆圆心P的轨迹T的方程；（2）由题意设直线l的方程为6xmy，联立抛物线方程，利用0NANB，从而由向量的数量积的坐标运算于韦达定理可得226320mm，即可求出直线方程．【详解】（1）由题意知圆221:14Cxy的圆心1,0C，半径12r；设,Pxy，易知点P在直线12x右侧，所以P到直线12x的距离为12x，又221PCxy，由相切可得12PCrx，即2211122xyx化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为24yx；（2）如下图所示：设11,Axy，22,Bxy．由题意，设直线l的方程为6,xmy联立T的方程可得24240ymy则2164240m，由韦达定理可得124yym，1224yy，所以212412xxm，1236xx，假设存在00,Nxy，使得NANB,资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则12022yyym，又2004yx，所以20xm；10102020,,,NAxxyyNBxxyy，由0NANB可得102010200xxxxyyyy，所以22120120120120()()0xxxxxxyyyyyy，代入化简可得226320mm，解得63m，∴存在直线6:63lxy，使得NANB.8．圆22(3)16xy，圆心为A，点3,0B，作圆上任意一点M与B点连线的中垂线，交AM于N.求N的轨迹C的方程；【答案】2214xy【详解】连接NB，则MNNB，其中3,0A，则23AB，所以4ANNBANMNAMAB，故N的轨迹C为以,AB两点为焦点，长轴长为4