专题07 平面向量（3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题07平面向量易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线性运算）1．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度，记作||AB．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算和向量共线定理（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律abba②结合律()abc=()abca+bbaa+bba资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则()abab数乘求实数与向量a的积的运算（1）||||||aa（2）当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相同；当0时，0a()()aa()aaa()abab共线向量定理向量0aa与b共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得ba.共线向量定理的主要应用：(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使ABAC，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.解决向量的概念问题应关注以下七点：(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向baa-b资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】量．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(6)非零向量a与||aa的关系：||aa是a方向上的单位向量．(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小易错提醒：（1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OAOBBA，AMANNM，+OAOBCAOAOBCABACABAACBC.例．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（）A．ABADACB．ABCDDOOAC．ABADCDADuuuruuuruuuruuurD．0ACBADA【详解】对于A，根据平面向量加法的平行四边形法则，则ABADAC，故A正确；对于B，在平行四边形ABCD中，CDABuuuruuur，则ABCDDODOOAuuuruuuruuuruuuruur，故B错误；对于C，ABADCDACCDAD，故C正确；对于D，在平行四边形ABCD中，CDBAuuuruur，0ACBADADAACBADCBAuuuruuruuuruuuruuuruuruuuruurr，故D正确.故选：ACD.变式1：给出下列命题，其中正确的命题为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．若ABCD，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段B．若1233ADACAB，则可知3BCBDC．若Q为ABC的重心，则111333PQPAPBPCuuuruuruuruuurD．非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面【详解】在平行四边形ABDC中，满足ABCD，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD不为同一线段，A不正确.因为1233ADACAB，所以32ADACAB，所以22ADABACAD，所以2BDDC，所以3BDBDDC，即3BDBC，B正确.若Q为ABC的重心，则0QAQBQC，所以33PQQAQBQCPQ，所以3PQPAPBPC，即111333PQPAPBPCuuuruuruuruuur，C正确.在三棱柱111ABCABC-中，令ABa=，ACb，1AAc，满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，但a，b，c不共面，D不正确.故选：BC.变式2：如图所示，在平行四边形ABCD中，,ABaADb，23BMBC，14ANAB．(1)试用向量,ab来表示,DNAM;(2)AM交DN于O点，求:AOOM的值．【详解】（1）因为14ANAB，所以14ANa，所以14DNANADab，因为23BMBC，所以2233BMADb，所以23AMABBMab；（2）设AOAM，则22133DOAOADAMADabbab，因为,,DON三点共线，所以存在实数使1144DODNabab，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于向量,ab不共线，则14，213，解得36,147，所以4::33111AOAMAOOM.变式3：如图所示，在矩形ABCD中，43BC，8AB，设BCb=，ABa=，BDc，求abc.【详解】解：在矩形ABCD中，43ADBC，8AB，则222284347BDABAD，因为BCb=，ABa=，BDc，则2abcABBCBDABADBDDBDBDB，因此，224787abcDB.1．已知a、b为不共线的向量，5ABab，28BCab，3CDabuuurrr，则（）A．ABC，，三点共线B．ACD，，三点共线C．ABD，，三点共线D．BCD，，三点共线【答案】C【分析】根据平面向量共线定理及基本定理判断即可.【详解】因为a、b为不共线的向量，所以a、b可以作为一组基底，对于A：5ABab，28BCab，若存在实数t使得ABtBC，则528abtab，所以2185tt，方程组无解，所以AB与BC不共线，故A、B、C三点不共线，即A错误；对于B：因为5ABab，28BCab，所以52813ACBaABCabbab，同理可以说明不存在实数t，使得ACtCD，即AC与CD不共线，故A、C、D三点不共线，即B错误；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C：因为28BCab，3CDabuuurrr，所以2835BBCCDabababD，又5ABabBD，所以//ABBD，故A、B、D三点共线，即C正确；对于D：28BCab，3CDabuuurrr，同理可以说明不存在实数t，使得BCtCD，即BC与CD不共线，故B、C、D三点不共线，即D错误；故选：C2．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则DF等于（）A．1233ABADB．1323ABADC．1536ABADD．1334ABAD【答案】C【分析】利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：13DFAFADAEAD，13ABBEAD，1132ABADAD，1536ABAD，故选：C3．在四边形ABCD中，若ACABAD，则（）A．四边形ABCD是平行四边形B．四边形ABCD是矩形C．四边形ABCD是菱形D．四边形ABCD是正方形【答案】A【分析】由ACABAD推出BCAD，再根据向量相等的定义得BCAD且//BCAD，从而可得答案.【详解】因为ACABAD，故ACABAD，即BCAD，故BCAD且//BCAD，故四边形ABCD一定是平行四边形，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】不一定是菱形、正方形和矩形，故A正确；BCD不正确.故选：A.4．已知,ADBE分别为ABC的边,BCAC上的中线，设ADa，BEb,则BC＝（）A．43a＋23bB．23a＋43bC．23a43bD．23a＋43b【答案】B【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解.【详解】,ADBE分别为ABC的边,BCAC上的中线,则12ADBDBABCBA,111222BEBAAEBAACBAABBCBABC,由于ADa，BEb，所以111,222aBCBAbBABC,故解得2433BCab，故选：B5．如果21,ee是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）①12,Raee可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使12,Raee的实数对,有无穷多个；③若向量1112ee与2122ee共线，则1122u④若实数λ、μ使得120ee，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②【答案】B【分析】由平面向量基本定理判断①④②，由共线向量定理判断③.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】解：由平面向量基本定理可知，①④是正确．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故错误；对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0，故错误.故选：B.6．给出下列各式：①ABCABC，②ABCDBDAC，③ADODOA，④NQMPQPMN，对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【分析】利用向量的加减法法则逐个分析判断即可.【详解】对于①，0ABCABCABBCCAACCA，对于②，0ABCDBDACABBDACCDADAD，对于③，0ADODOAADDOOAAOOA，对于④，0NQMPQPMNNQQPPMMNNPPN，所以其化简结果为0的式子的个数是4，故选：A7．已知平面向量a，b，c，下列结论中正确的是（）A．若ab∥，则abB．若ab，则abC．若ab∥，bc∥，则ac∥D．若abab，则ab∥【答案】D【分析】利用向量的概念及零向量判断即可.【详解】A：若a为非零向量，b为零向量时，有ab但ab不成立，错误；B：ab时，a，b不一定相等，错误；C：若b为零向量时，ab，bc∥不一定有ac∥，错误；D：abab说明a，b同向或至少有一个零向量，故ab，正确.故选：D.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8．设1e与2e是两个不共线的向量，1212123