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专题13空间几何(选填题10种考法)考法一空间几何体的体积与表面积【例1-1】(2023·全国·统考高考真题)在三棱锥PABC中,ABC是边长为2的等边三角形,2,6PAPBPC,则该棱锥的体积为()A.1B.3C.2D.3【例1-2】(2023·全国·统考高考真题)已知四棱锥PABCD的底面是边长为4的正方形,3,45PCPDPCA,则PBC的面积为()A.22B.32C.42D.62【例1-3】(2022·全国·统考高考真题)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m.时,相应水面的面积为21400km.;水位为海拔1575m.时,相应水面的面积为21800km.,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔1485m.上升到1575m.时,增加的水量约为(72.65)()A.931.010mB.931.210mC.931.410mD.931.610m【例1-4】(2023·河南·校联考模拟预测)如图1所示,宫灯又称宫廷花灯,是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图,该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成,若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为4dm和2dm,正六棱台与正六棱柱的高分别为1dm和6dm,则该花灯的表面积为()A.2108303dmB.272303dmC.264243dmD.248243dm【变式】1.(2023·全国·统考高考真题)已知圆锥PO的底面半径为3,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,120AOB,若PAB的面积等于934,则该圆锥的体积为()A.B.6C.3D.362.(2023·天津·统考高考真题)在三棱锥PABC中,线段PC上的点M满足13PMPC,线段PB上的点N满足23PNPB,则三棱锥PAMN和三棱锥PABC的体积之比为()A.19B.29C.13D.493.(2022·天津·统考高考真题)如图,“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象,重叠后的底面为正方形,直三棱柱的底面是顶角为120,腰为3的等腰三角形,则该几何体的体积为()A.23B.24C.26D.274.(2022·全国·统考高考真题)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若=2SS甲乙,则=VV甲乙()A.5B.22C.10D.5104考法二空间几何中的垂直与平行【例2-1】(2023·江苏连云港·校考模拟预测)设,mn是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若//m,//n,则//mnB.若//m,//m,则//C.若//mn,//m,n,则//nD.若//m,//,则//m【例2-2】(2022·全国·统考高考真题)在正方体1111ABCDABCD中,E,F分别为,ABBC的中点,则()A.平面1BEF平面1BDDB.平面1BEF平面1ABDC.平面1//BEF平面1AACD.平面1//BEF平面11ACD【变式】1.(2023·福建泉州·统考模拟预测)(多选)已知圆柱12OO的轴截面是正方形ABCD,AB为底面圆1O的直径,点E在圆1O上,点F在圆2O上,且E,F不在平面ABCD内.若A,E,C,F四点共面,则()A.直线//BE平面ADFB.直线BD平面AECFC.平面ADF∥平面BCED.平面BEF平面AECF2.(2023·全国·模拟预测)(多选)在正方体1111ABCDABCD中,1,PP分别是棱11,CDCD的中点,则()A.1//AP平面1BCPB.平面11//BDP平面1BCPC.1AP平面11BDPD.平面11BDP平面1BCD3.(2023·福建南平·统考模拟预测)(多选)在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中,E,F分别是AB,BC中点,则()A.1//BC平面1BDEB.1DF平面1BDEC.平面1AAF平面1BDED.点E到平面11ADF的距离为24考法三空间距离【例3】(2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测)在三棱柱111ABCABC-中,1AABC是棱长为2的正四面体,则点A到平面11BCCB的距离为()A.6B.3C.2D.1【变式】1.(2023·河北唐山·统考三模)把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角DACB,则三棱锥DABC的外接球的球心到平面BCD的距离为()A.33B.22C.63D.122.(2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测)如图,底面同心的圆锥高为165,A,B在半径为3的底面圆上,C,D在半径为4的底面圆上,且//ABCD,ABCD,当四边形ABCD面积最大时,点O到平面PBC的距离为()A.4825B.3625C.2D.33.(2020·四川眉山·校考二模)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=22E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为A.2B.3C.2D.1考法四空间角【例4】.(2022·全国·统考高考真题)已知正方体1111ABCDABCD,则()A.直线1BC与1DA所成的角为90B.直线1BC与1CA所成的角为90C.直线1BC与平面11BBDD所成的角为45D.直线1BC与平面ABCD所成的角为45【变式】1.(2022·全国·统考高考真题)在长方体1111ABCDABCD中,已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30,则()A.2ABADB.AB与平面11ABCD所成的角为30C.1ACCBD.1BD与平面11BBCC所成的角为452.(2023·吉林白山·统考二模)已知正四面体ABCD,E为CD的中点,则().A.直线AB与CD所成的角为90B.直线AC与BE所成的角为60C.直线AB与平面BCD所成角的余弦值为33D.直线BE与平面ACD所成角的余弦值为333.(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模)(多选)已知正方体1111ABCDABCD,则()A.异面直线AD与1BC所成的角为45B.异面直线1BD与AD所成角的正切值为22C.直线AD与平面11BBDD所成的角为45D.直线1BD与平面ABCD所成角的正切值为22考法五外接球与内切球【例5-1】(2023·江西九江·统考一模)三棱锥ABCD中,ABD△与BCD△均为边长为2的等边三角形,若平面ABD平面BCD,则该三棱锥外接球的表面积为()A.8π3B.20π3C.8πD.20π【例5-2】(2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测)如图,该几何体为两个底面半径为1,高为1的相同的圆锥形成的组合体,设它的体积为1V,它的内切球的体积为2V,则12:VV()A.2:3B.22:3C.2:2D.2:1【变式】1.(2023·河南·统考模拟预测)在菱形ABCD中,5AB,6AC,AC与BD的交点为G,点M,N分别在线段AD,CD上,且13AMMD,13CNND,将MND沿MN折叠到MND△,使22GD,则三棱锥DABC的外接球的表面积为.2.(2023·四川南充·模拟预测)已知四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形,322PBPD,二面角PBDC的余弦值为255,则四棱锥PABCD的外接球的表面积为.3.(2023·四川南充·模拟预测)已知四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形,6PBPD,三棱锥PBCD的体积为223,则四棱锥PABCD的外接球的表面积为.考法六轨迹与轨迹的长度【例6】(2023·辽宁·校联考模拟预测)如图,将正四面体每条棱三等分,截去顶角所在的小正四面体,余下的多面体就成为一个半正多面体,亦称“阿基米德体”.点A,B,M是该多面体的三个顶点,点N是该多面体表面上的动点,且总满足MNAB,若4AB,则该多面体的表面积为,点N轨迹的长度为.【变式】1.(2023·江苏南京·校联考一模)如图,在矩形ABCD中,24ABAD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点,AC与BD交于点O,现将AEH△,BEF△,CFG△,DGH分别沿EH,EF,FG,GH把这个矩形折成一个空间图形,使A与D重合,B与C重合,重合后的点分别记为M,N,Q为MN的中点,则多面体MNEFGH的体积为;若点P是该多面体表面上的动点,满足PQON时,点P的轨迹长度为.2.(2023春·云南)在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中,E为棱BC的中点,F是侧面11BBCC内的动点,若1//AF平面1ADE,则点F轨迹的长度为()A.22B.2C.322D.223.(2023·全国·高三专题练习)已知ABCDABCD是棱长为1的正方体,点P为正方体表面上任一点,则下列说法不正确的是()A.若1AP,则点P的轨迹长度为32B.若233AP,则点P的轨迹长度为536C.若2AP,则点P的迹长度为32D.若32AP,则点P的轨迹长度为544(2022·全国·高三专题练习)如图,在体积为6的三棱锥PABC中,PA、PB、PC两两互相垂直,1PA,若点M是底面CBP内一动点,且满足AMBC,则点M的轨迹长度的最大值为()A.6B.3C.32D.62考法七截面【例7】.(2023·河南·校联考模拟预测)在正四棱柱1111ABCDABCD中,124AAAB,点,,EFG分别是111,AAAB,11BC的中点,则过点,,EFG的平面截正四棱柱1111ABCDABCD所得截面多边形的周长为()A.2233B.2235C.2243D.2245【变式】1.(2023·贵州六盘水·统考模拟预测)在正方体1111ABCDABCD中,以点A为球心,棱AB为半径的球将正方体截为P(含球心的部分)和Q两部分,则四边形11ABCD被球A截得的区域面积与P的表面积之比为.2.(2022秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习)已知正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点,且:2:1CEED,则截面ABE的面积是()A.224aB.222aC.21712aD.21912a3.(2022秋·福建福州)(多选)如图,已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1,E为11AD的中点,P为对角线上1DB的一个动点,过P作与平面ACE平行的平面,则此平面截正方体所得的截面()A.截面不可能是五边形B.截面可以是正六边形C.P从D点向1B运动时,截面面积先增大后减小D.截面面积的最大值为21164.(2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)在三棱锥PABC中,侧面PAC是等边三角形,底面ABC是等腰直角三角形,ABBC,10ACPB,点M,N,E分别是棱PA,PC,AB的中点,过M,N,E三点的平面截三棱锥PABC所得截面为,给出下列结论:①截面的形状为正方形;②截面的面积等于2522;③异面直线PA与BC所成角的余弦值为24;④三棱锥PABC外接球的表面积等于400π3.其中所有正确结论的序号是()A.①④B.②③C.①③④D.②③④考法八最值【例8-1】(2022·全国·统考高考真题)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为()A.13B.12C.33D.22【变式】1.(2022·全国·统考高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36,且333l,则该正四棱锥体积的取值范围是()A.8118,4B.2781,44C.2764,43D.[18,27]2.(2023·河南·校联考模拟预测)在三棱锥PABC中,PA平面90ABCABACBAC,,,且6ABPA,当三棱
本文标题:专题13 空间几何(选填题10种考法)(原卷版)
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