专题02 数列（解答题12种考法）（精讲）（原卷版）

专题02数列（解答题12种考法）考法一数列通项和求和常见方法【例1-1】（河北省沧州市联考2024届高三上学期10月月考数学试题）已知数列na的前n项和为nS，且满足121nnSnann．(1)证明：nSn是等差数列；(2)若11a，43nnbSn，数列nb的前n项和为nT，证明：2nT．【例1-2】（2023秋·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知数列na满足115233nnaan，且2133a．(1)证明：数列32nan为等比数列，并求出数列na的通项公式；(2)求数列na的前n项和nT．【例1-3】（2022·全国·统考高考真题）记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa是公差为13的等差数列．(1)求na的通项公式；(2)证明：121112naaa．【变式】1．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）记nS为等差数列na的前n项和，已知3412aa，6420SS.(1)求na的通项公式；(2)记1nnnbS，求数列nb的前23项的和23T.2．（2023·全国·统考高考真题）记nS为等差数列na的前n项和，已知21011,40aS．(1)求na的通项公式；(2)求数列na的前n项和nT．3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知各项均为正数的数列na，nb满足：11a，22121nnaan，3lognnab．(1)求数列na，nb的通项公式；(2)求数列nnab的前n项和nS．4．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，11a，122(1)(1)nnnSnSnn．(1)求数列na的通项na；(2)设222nnnnabS，求数列nb的前n项和nT．考法二裂项相消常见形式【例2-1】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在数列na中，已知125a，11342nnnnaaaa，记23nnba．(1)证明：数列nb为等比数列；(2)记______，数列nc的前n项和为nS，求nS．在①2212211loglognnncbb；②111nnnnbcbb；③1(2)(1)nnnnnbcnnbb三个条件中选择一个补充在第（2）问中并对其求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【例2-2】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记nS为数列na的前n项和，且13a，2nnSnann．(1)求数列na的通项公式；(2)设1111nnnnnnaabaa，求数列nb的前n项和nT．【例2-3】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）设等比数列na的前n项和为nS，数列nb为等差数列，且公差110,2dab，3335,abSb.(1)求数列na的通项公式以及前n项和nS；(2)数列22214nnnb的前n项和为nT，求证：19nT.【变式】1．（2023秋·福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考阶段练习）已知数列na是公比1q的等比数列，前三项和为39，且123,6,aaa成等差数列．(1)求数列na的通项公式；(2)设*3213211Nloglognnnbnaa，求nb的前n项和nT．2.（2022·湖北·模拟预测）设正项数列na的前n项和为1,1nSa且*1232nnnnanSaSN，且2n.(1)求数列na的通项公式；(2)若11nnnbSS，求数列nb的前n项和nT.3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，且*23,NnnnSaan.(1)求na的通项公式；(2)记2123111nnnnnabnnaa，求数列nb的前n项和nT.4.（2022·浙江·三模）已知数列na的前n项和为nS，且满足11a，12nnSna，数列nb满足11b，12nannbb，其中nN．(1)求数列na和nb的通项公式；(2)设111nnnnnabcnaaN，求数列nc的前n项和nT．5.（2022·天津南开）已知数列na是公比1q的等比数列，前三项和为13，且1a，22a，3a恰好分别是等差数列nb的第一项，第三项，第五项．(1)求na和nb的通项公式；(2)设2(810)12121nnnnnadaa，求数列nd的前n项和nT．考法三分段函数【例3-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知数列na的前n项和为nS，且2nSnn．(1)求na的通项公式；(2)若数列nb满足2,2,nnananbn为奇数为偶数，求数列nb的前2n项和2nT．【例3-2】（2023·广东深圳·校考二模）已知na是等差数列，11a，0d，且1a，2a，4a成等比数列.(1)求数列na的通项公式；(2)令(1)nnnba，记123(1)nnnSbbbb，求nS.【变式】1．（江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期10月联合调研数学试题）已知等差数列na的前n项和为nS，且满足52215aa，981S．(1)求数列na的通项公式；(2)若数列nb满足,3,nnnanbn为奇数为偶数，求数列nb的前2n项和2nT．2．（2023·海南·统考模拟预测）在①2514,,aaa成等比数列，且21441nnSan；②2132aaa，数列nS是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知各项均是正数的数列na的前n项和为nS，且__________．(1)求数列na的通项公式；(2)设(1)nnnba，求数列nb的前n项和nT．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知na是单调递增的等差数列，其前n项和为nS.nb是公比为q的等比数列.1142423,,ababSqS.(1)求na和nb的通项公式；(2)设1,,7nnnnnnnabncabnaS为奇数为偶数，求数列nc的前n项和nT.考法四插项数列【例4-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列na的首项145a，1431nnnaaa，*nN.(1)设1nnnaba，求数列nb的通项公式；(2)在kb与1kb（其中*kN）之间插入2k个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列nc.记nS为数列nc的前n项和，求36S.【例4-2】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知数列na满足*122N3333nnaaann.(1)求na的通项公式；(2)在na相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列nb的前2n项和2nT.【变式】1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）nS为数列na的前n项和，已知2634nnnSaa，且0na.(1)求数列na的通项公式na；(2)数列nb依次为：23456789101234,3,,3,3,,3,3,3,,3,3,3,3aaaa，规律是在ka和1ka中间插入*Nkk项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列nb的前100项的和.2．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在数1和3之间插入n个实数，使得这2n个数构成递增的等比数列，将这2n个数的乘积记作nT，令3lognnaT.(1)求数列na的通项公式；(2)若1112nnnnnbaa，求数列nb的前n项和nS.3．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设等比数列na的首项为12a，公比为q（q为正整数），且满足33a是18a与5a的等差中项；数列nb满足23202nnntbnb（tR，*nN）.(1)求数列na的通项公式；(2)试确定t的值，使得数列nb为等差数列；(3)当nb为等差数列时，对每个正整数k，在ka与1ka之间插入kb个2，得到一个新数列nc.设nT是数列nc的前n项和，试求100T.考法五数列中的存在性问题【例5】23．（2023·广东·校联考模拟预测）记nS为数列na的前n项和，已知,2nSn的等差中项为na.(1)求证2na为等比数列；(2)数列13na的前n项和为nT，是否存在整数k满足,1nTkk？若存在求k，否则说明理由.【变式】1．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列na的首项11a，公差1d．记na的前n项和为nSnN．(1)若423260Saa，求nS；(2)若对于每个nN，存在实数nc，使12,4,15nnnnnnacacac成等比数列，求d的取值范围．2．（2023·山东日照·三模）已知数列na满足：72110,2nnnaaa.(1)当132时，求数列2na中的第10项；(2)是否存在正数，使得数列na是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.3．（2023·上海嘉定·校考三模）已知数列na的前n项和为12,nSa，对任意的正整数n，点1,nnaS均在函数fxx图象上.(1)证明：数列nS是等比数列；(2)问na中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.考法六数列与三角函数综合运用【例6-1】（2020秋·宁夏中卫·高三海原县第一中学校考期中）已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，内角A、B、C成等差数列，3b，数列na是等比数列，且首项、公比均为sinsinACac．（1）求数列na的通项公式；（2）若2lognnnaba，求数列nb的前n项和nS．【例6-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列na的前n项和为nS，满足21nnaS.(1)求数列na的通项公式；(2)若2πcos3nnnba，求数列nb的前31n项和31nT.【变式】1.（2022·安徽）已知函数213sincoscos02fxxxx的最小正周期为6．(1)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cb，若61fA，612fB，求cb的值；(2)若122nnfna，求数列na的前2022项和2022S．2.（2022·河南）已知数列{na}满足111,4.nnaaan(1)求数列{na}的通项公式；(2)设14cos,nnnnnbaa，求数列{nb}的前n项和nS，并求nS的最大值.3.（2022·安徽）已知函数2cos,12sin,3sin,12sin,mxxnxxfxmn，(1)求()fx的解析式，并求其单调递增区间；(2)若()1fx在区间(0,)上的根按从小到大的顺序依次记为123,,,,naaaa求数列na的通项公式及其前n项和nS．考法七数列与统计概率综合【例7】（2024秋·广东广州·高三统考阶段练习）某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且