重难点09 平面向量常考经典压轴小题全归类【九大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷版）

重难点09平面向量常考经典压轴小题全归类【九大题型】【新高考专用】【题型1平面向量共线定理及其应用】...............................................................................................................3【题型2平面向量基本定理及其应用】...............................................................................................................4【题型3平面向量的数量积】...............................................................................................................................5【题型4平面向量的模的问题】...........................................................................................................................6【题型5平面向量夹角与垂直问题】...................................................................................................................6【题型6极化恒等式】...........................................................................................................................................7【题型7向量与解三角形综合】...........................................................................................................................7【题型8向量与几何最值、范围问题】...............................................................................................................8【题型9向量在几何中的其他应用】...................................................................................................................9平面向量是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来分析，平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，常常以平面图形为载体，考查数量积、模、夹角与垂直的条件等问题，也时也会与平面解析几何、三角函数、不等式等知识相结合，以工具的形式出现，试题难度中等.学生在高考复习中应注意加强对平面向量的数量积、模、夹角等知识的掌握，能灵活运用向量知识解决有关问题.【知识点1平面向量线性运算问题的解题策略】1.平面向量线性运算问题的求解思路：(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.2.向量线性运算的含参问题的解题策略：与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.3.利用共线向量定理解题的策略：(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.(3)若与不共线且，则.(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.【知识点2平面向量基本定理的解题策略】1.应用平面向量基本定理求向量的实质应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.【知识点3平面向量坐标运算的方法技巧】1.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.【知识点4平面向量数量积问题的解题方法】1.平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.2.夹角与垂直问题根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.3.向量的模的求解思路：(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【知识点5极化恒等式】1.极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)ababab.证明：不妨设,ABaADb，则CAab，DBab，22222C2ACAabaabb①，222222DBDBabaabb②，①②两式相加得：22222222ACDBabABAD.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：2214abab————极化恒等式平行四边形模式：2214abACDB.(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．【知识点6平面向量的应用的方法技巧】1.平面向量的应用的解题方法；平面向量的应用方向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，主要解题方法有：(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.2.平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断；(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题型1平面向量共线定理及其应用】【例1】（2023·江苏·统考模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，点P在CD上，且𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(𝑚∈𝑅)，则𝑚=（）A．15B．14C．13D．12【变式1-1】（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）设𝑒1⃗⃗⃗，𝑒2⃗⃗⃗是两个不共线的向量，已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑒1⃗⃗⃗−𝑘𝑒2⃗⃗⃗，𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑒1⃗⃗⃗+3𝑒2⃗⃗⃗，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑒1⃗⃗⃗−𝑒2⃗⃗⃗，若三点A，B，D共线，则𝑘的值为（）A．－8B．8C．6D．－6【变式1-2】（2023·陕西安康·统考一模）已知O是△𝐴𝐵𝐶内一点，2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑚𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗，若△𝐴𝑂𝐵与△𝐴𝐵𝐶的面积之比为47，则实数m的值为（）A．−103B．103C．−203D．203【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）在△𝑂𝐴𝐵中，𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点.若𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜇𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(𝜆,𝜇0)，则𝜆+𝜇的最小值为（）A．3+√35B．2+2√37C．3+2√35D．3+2√25【题型2平面向量基本定理及其应用】【例2】（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，F是DE的中点，则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．12𝑎+12𝑏⃗B．−12𝑎+12𝑏⃗C．14𝑎+12𝑏⃗D．−14𝑎+12𝑏⃗【变式2-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)，点𝑃为𝐴𝐸与𝐵𝐹的交点，𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则𝜆−𝜇=（）A．0B．14C．12D．34【变式2-2】（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为√5−12.如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂，𝐵𝐹⊥𝐴𝐶,𝐷𝐻⊥𝐴𝐶,𝐴𝐸⊥𝐵𝐷,𝐶𝐺⊥𝐵𝐷，且点𝐸为线段𝐵𝑂的黄金分割点，则𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．3−√52𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+5+√510𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗B．3−√52𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+5−√510𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗C．√5−12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+5−√510𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗D．3−√52𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+√55𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗【变式2-3】（2023·重庆江北·校考一模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D是边AB上一点且𝐵𝐷=2𝐴𝐷，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，则|𝐵𝐶||𝐵𝐴|=（）A．4B．3C．2D．12【题型3平面向量的数量积】【例3】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量𝑎=(1,2)，𝑏⃗=(3,4)，𝑐=(5,𝑚)（𝑚∈R），则(2𝑎−𝑏⃗)⋅𝑐=（）A．5B．−5C．5𝑚D．−5𝑚【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）已知向量𝑎，𝑏⃗满足𝑎=𝜆𝑏⃗(𝜆0)，|𝑏⃗|=2，|𝑎−𝑏⃗|=1，则(𝑎+𝑏⃗)⋅𝑎=（）A．3B．15C．-3或15D．3或15【变式3-2】（2023·广东佛山·统考一模）设四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗