第二章平稳时间序列分析

第二章平稳时间序列分析本章结构方法性工具ARMA模型平稳序列建模序列预测2.1方法性工具差分运算延迟算子线性差分方程差分运算一阶差分阶差分步差分pk1tttxxx111tptptpxxxkttkxx延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻记B为延迟算子，有1,pxBxtppt延迟算子的性质，其中10B为任意常数cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBnttnxxBiniinnnBCB0)1()1()!(!!ininCin2.2ARMA模型的性质AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）AR模型的定义具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt,0,0)(,)(0)(0222110，p)(pAR00)(pAR自回归系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为自回归系数多项式)(pARttxB)(ppBBBB2211)(平稳AR模型的统计性质均值方差协方差自相关系数偏自相关系数均值如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有根据平稳序列均值为常数，且为白噪声序列，有推导出p101)(110tptpttxxEExTtEExtt,0)(,}{tAR模型自相关系数的性质拖尾性呈负指数衰减1()pkiiikc不能恒等于零pccc,,,211()pkiiikc0例2.1:考察如下AR模型的自相关图ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115.0)4(5.0)3(8.0)2(8.0)1(例2.1—自相关系数按负指数单调收敛到零1(1)0.8tttxx例2.1:—自相关系数正负相间的衰减1(2)0.8tttxx例2.1:—自相关系数呈现出周期性余弦衰减12(3)0.5ttttxxx伪周期性例2.1:—自相关系数不规则衰减12(4)0.5ttttxxx偏自相关系数定义对平稳AR(p)序列，滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，对影响的相关度量。用数学语言描述就是121,,,ktttxxxktxtx2,,,)ˆ[()]ˆ)(ˆ[(11ktktktktttxxxxxExExExxExEkttktt偏自相关系数的计算滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。02211202112112011kkkkkkkkkkkkkkkkk])ˆ[()]ˆ)(ˆ[(2ktktktktttkkxExExExxExE偏自相关系数的截尾性AR(p)模型偏自相关系数P阶截尾pkkk,0例2.5续:考察如下AR模型的偏自相关图ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115.0)4(5.0)3(8.0)2(8.0)1(例2.1—理论偏自相关系数样本偏自相关图1(1)0.8tttxx0.8,10,2kkkk例2.1:—理论偏自相关系数样本偏自相关图1(2)0.8tttxx0.8,10,2kkkk例2.1:—理论偏自相关系数样本偏自相关图12(3)0.5ttttxxx2,130.5,20,3kkkkk例2.1:—理论偏自相关系数样本偏自相关系数图12(4)0.5ttttxxx2,130.5,20,3kkkkkMA模型的定义具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型q)(qMA0)(qMA112220()0(),()0,ttttqtqqtttsxEVarEst，移动平均系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为阶移动平均系数多项式)(qMAttBx)(qqqBBBB2211)(MA模型的统计性质常数均值常数方差）（qtqttttEEx221122212211)1()()(qqtqttttVarxVarMA模型的统计性质偏自相关系数拖尾))((11111qktqktqtqtkk零不会在有限阶之后恒为不恒为零kkq,1例2.2:考察如下MA模型的相关性质212111162545)4(251654)3(5.0)2(2)1(ttttttttttttttxxxxMA模型的自相关系数截尾112tttx（）120.5tttx（）MA模型的自相关系数截尾124163525ttttx（）125254416ttttx（）MA模型的偏自相关系数拖尾112tttx（）120.5tttx（）MA模型的偏自相关系数拖尾124163525ttttx（）125254416ttttx（）ARMA模型的定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为特别当时，称为中心化模型),(qpARMAtsExtsEVarExxxtsstttqpqtqttptptt,0,0)(,)(0)(00211110，，00),(qpARMA系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为阶自回归系数多项式阶移动平均系数多项式),(qpARMAttBxB)()(qqqBBBB2211)(pppBBBB2211)(ARMA(p,q)模型的统计性质均值协方差自相关系数ptEx101)(02ikiiGGk020)0()()(jjjkjjGGGkkARMA模型的相关性自相关系数拖尾偏自相关系数拖尾例2.3:考察ARMA模型的相关性拟合模型ARMA(1,1):并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。10.50.8ttttxx自相关系数和偏自相关系数拖尾性样本自相关图样本偏自相关图ARMA模型相关性特征模型自相关系数偏自相关系数AR(P)拖尾P阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾2.3平稳序列建模建模步骤模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测建模步骤平稳非白噪声序列计算样本相关系数模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测YN模型识别基本原则选择模型拖尾P阶截尾AR(P)q阶截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)kkˆk模型定阶的困难因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的或仍会呈现出小值振荡的情况由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数，与都会衰减至零值附近作小值波动？当或在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？kkˆkkˆkˆkkˆkˆkkˆ模型定阶经验方法如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95％的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。例2.4选择合适的模型ARMA拟合1950年——1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列。序列自相关图序列偏自相关图拟合模型识别自相关图显示延迟3阶之后，自相关系数全部衰减到2倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数可视为不截尾偏自相关图显示除了延迟1阶的偏自相关系数显著大于2倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在2倍标准差范围内作小值随机波动，而且由非零相关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该偏自相关系数可视为一阶截尾所以可以考虑拟合模型为AR(1)例2.5美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORT序列序列自相关图序列偏自相关图拟合模型识别自相关图显示除了延迟1阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其它阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内波动。根据这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。同时，可以认为该序列自相关系数1阶截尾偏自相关系数显示出典型非截尾的性质。综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，为拟合模型定阶为MA(1)例2.61880-1985全球气表平均温度改变值差分序列序列自相关图序列偏自相关图拟合模型识别自相关系数显示出不截尾的性质偏自相关系数也显示出不截尾的性质综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，可以尝试使用ARMA(1,1)模型拟合该序列例2.4续确定1950年——1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的口径拟合模型：AR(1)估计方法：极大似然估计模型口径tttxx169141.055.8117.16)ˆ(2Var例2.5续确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORTS序列拟合模型的口径拟合模型：MA(1)估计方法：条件最小二乘估计模型口径ttBx)82303.01(40915.4637.2181)ˆ(2Var例2.6续确定1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型的口径拟合模型：ARMA(1,1)估计方法：条件最小二乘估计模型口径119.0407.0005.0ttttxx016.0)ˆ(2Var模型检验模型的显著性检验整个模型对信息的提取是否充分参数的显著性检验模型结构是否最简模型的显著性检验目的检验模型的有效性（对信息的提取是否充分）检验对象残差序列判定原则一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效假设条件原假设：残差序列为白噪声序列备择假设：残差序列为非白噪声序列0120,1mHm：mkmHk，：至少存在某个1,01检验统计量LB统计量221ˆ(2)()~()mkkLBnnmnk例2.4续检验1950年——1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的显著性残差白噪声序列检验结果延迟阶数LB统计量P值检验结论65.830.3229拟合模型显著有效1210.280.50501811.380.8361参数显著性检验目的检验每一个未知参数是否显著非零