专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用（练习）（原卷版）

专题09数列的通项公式、数列求和及综合应用目录01等差、等比数列的基本量问题.................................................102证明等差等比数列...........................................................203等差等比数列的交汇问题.....................................................304数列的通项公式.............................................................405数列求和...................................................................706数列性质的综合问题........................................................1207实际应用中的数列问题......................................................1408以数列为载体的情境题......................................................1509数列的递推问题............................................................1701等差、等比数列的基本量问题1．（2023·重庆·高三统考阶段练习）已知数列na满足12a，11,3,nnnanaan为奇数为偶数，记2nnba，则有（）A．15bB．29bC．12nnbb+-=D．41nbn2．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列na的前n项和为nS，2532aaa，47245aa，则5S（）A．29B．31C．33D．363．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知等差数列na，其前n项和为nS，若10a，且满足23a，3S，10a成等比数列，则105aa等于（）A．83或127B．83C．127D．24．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）在等比数列na中，已知1234aaa，45632aaa，则6a（）A．643B．42C．1283D．25635．（2023·全国·模拟预测）已知数列na为等差数列，其前n项和为nS，且37a，10510105SS，则9S（）A．63B．72C．135D．1446．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列na对任意*kN满足132kkaak，则22023aa（）A．3032B．3035C．3038D．304102证明等差等比数列7．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）已知数列na中，13a，12N12,nnanna(1)求证：数列11na是等差数列，并求出na的通项公式；8．（2023·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知数列na、nb的各项均为正数，且对任意*nN，都有na，nb，1na成等差数列，nb，1na，1nb成等比数列，且110a，215a．(1)求证：数列nb是等差数列；(2)求数列na、nb的通项公式．9．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设nS是数列na的前n项和，已知111,,1,22,.nnnannaaann为奇数为偶数(1)求4a，并证明：22na是等比数列；(2)求满足20nS的所有正整数n.10．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列na的各项均为非零实数，其前n项和为(0)nnSS，且21nnnnSaSa.(1)若32S，求3a的值；(2)若1aa，20232023aa，求证：数列na是等差数列，并求其前n项和.03等差等比数列的交汇问题11．（2023·高二课时练习）已知数列na的前n项和为nS，若1226aa，na，2na，1na成等差数列，则2020S．12．（2023·广西·校联考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS．且11a，lgnS是公差为lg3的等差数列，则242naaa．13．（2023•甲卷）记nS为数列{}na的前n项和．已知221nnSnan．（1）证明：{}na是等差数列；（2）若4a，7a，9a成等比数列，求nS的最小值．14．（2023•乙卷）设{}na是首项为1的等比数列，数列{}nb满足3nnnab，已知1a，23a，39a成等差数列．（1）求{}na和{}nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为{}na和{}nb的前n项和．证明：2nnST．15．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知数列na是公差为d的等差数列，设3122222naanaac，若存在常数m，使得数列ncm为等比数列，则m的值为.04数列的通项公式16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}nx满足14x，21324nnnxxx．求数列{}nx的通项公式．17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na中，1111,.nnaaca设51,22nncba，求数列nb的通项公式.18．（2023·全国·高三专题练习）已知：11a，2n时，11212nnaan，求na的通项公式．19．（2023·全国·高二专题练习）已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式．20．（2023·江西·高一统考期中）设数列{}na的前n项和为Sn，满足11221(N)nnnSan，且1235aaa，，成等差数列．(1)求1a的值；(2)求数列{}na的通项公式．21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足递推关系：12562nnnnaaa，且01a，12a，求数列na的通项公式.22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}na满足：*1112,N,4,3nnaana求na.23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为nS，112a，2(1)nnSnann，求{an}的通项.24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}na满足12a，11221nnnaaa(2)n，求数列{}na的通项公式．25．（2023·全国·高三专题练习）已知185nnnaaa，11a，求na的通项公式．26．（2023·全国·高三专题练习）设0b，数列na满足1ab，11(2)1nnnnbaanan，求数列na的通项公式．27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式1341nnnaaa，且首项15a，求数列na的通项公式．28．（2023·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）数列na中，*1Nnnnnaaan，且3πa，则na等于.29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足13a，26a，2123nnnaaa，求na05数列求和30．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列na满足：312232222nnaaaan（*nN），数列nb满足5012nnba.(1)求数列na的通项公式；(2)求1299bbb.31．（2023·天津河东·高三校考阶段练习）已知数列{}na为等差数列，{}nb是公比不为0的等比数列，11a，12b，227ab，3313ab．(1)求na，nb；(2)设11nnncab，求数列{cn}的前n项的和nS；(3)设1(1)(61)nnnnnnbeaa，求数列ne的前n项的和nT32．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考一模）已知数列na为等比数列，首项12a，公比0q，且23,aa是关于x的方程2120xxt的根.其中t为常数.(1)求数列na的通项公式；(2)设212233411111log,nnnnnbaTbbbbbbbb，求使4950nT的n的最大值.33．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，32log13nS是首项为1，公差为1的等差数列．(1)求na的通项公式；(2)设数列3213312log3loglognnnnnaaaaa的前n项和为nT，证明：13nT．34．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列满足11a，11121nnnaa.(1)求na的通项公式；(2)若2πsin3nnnab，记数列nb的前99项和为99T，求9999T.35．（2023·四川自贡·统考一模）已知数列na的前n顶和为nS.且*1111,3nnaSanN.(1)求数列na的通项公式；(2)在数列nb中，4lognnnbaS，求数列nb的前n项和nT.36．（2023·全国·模拟预测）已知数列na中，2122aa，且22,4nnnanaan为奇数，为偶数．(1)求na的通项公式；(2)求na的前n项和nS．37．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列na满足12335214naaanan.(1)求na的通项公式；(2)设214nnnnaab，数列nb的前n项和为nS，求证：122nnS.38．（2023·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）nS为数列na的前n项和.已知0na，2243nnnaaS.(1)求na的通项公式；(2)设11nnnbaa，求数列nb的前n项和为nT，证明11156nT.39．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列na满足0na，13a，设na的前n项积为nS，且21nnnSa．(1)求数列na的通项公式；(2)设11nnnaba数列nb的前n项和为nT，求证：1nnTn．40．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知数列na和nb满足：11a，12b，12133nnnaab，12133nnnbba，其中nN．(1)求证：113nnnaa；(2)求数列na的前n项和nS．41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数393xfx．(1)求证：函数fx的图象关于点11,22对称；(2)求20222021020222023Sfffff的值．42．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列na满足1121,3nnaana.(1)证明：数列nan是等比数列.(2)求数列2nnan的前n项和nS.43．（2023·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知数列na的前n项和为nS，且1342nnSna.(1)证明：数列1na是等比数列，并求数列na的通项公式；(2)若3(1)log1nnnnbaa，数列nb的前n项和为nT，求使得22024nT的最小正整数n.44．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知等差数列na的前n项和为nS，且满足74349,29Saa，数列nb满足114,3nnnbbba．(1)证明：数列nbn是等比数列，并求