均布荷载作用下矩形薄板挠度解法的比较

四川建筑第28卷3期2008106均布荷载作用下矩形薄板挠度解法的比较刘相1,崔熙光1,王帅2(11沈阳建筑大学土木工程学院,辽宁沈阳110168;21辽宁省建筑设计研究院,辽宁沈阳110005)=,、,,。=;;=TU31114=A弹性矩形薄板是土木工程中常用的一种结构形式。例如,桥梁工程中的桥面板,高速公路中的水泥混凝土路面以及各种房屋建筑中的楼板等。本文就四周固结平板受力位移提供几种解法的比较。板是典型的工程构件,当板的厚度h与最小特征尺寸L之比:h:L1/5时,称为薄板。如果薄板在弯曲荷载作用下,板内的最大挠度Wmax小于板厚度的五分之一,即Wmaxh/5时,则称为薄板小挠度弯曲问题。本文就垂直于板中面的荷载引起的薄板弯曲通过弹性力学以及有限元法作分析。1(1)变形前垂直于中面的直线段在变形后仍然垂直于变形后的中面,且长度保持不变;(2)薄板中面各点都没有平行于中面的位移;(3)平行于中面的板内各层互不挤压,在计算变形时可忽略挤压应力Rz。2在板挠度很小情况下,根据弹性理论中变形分量与位移关系有:Ex=9u9x,Ey=9v9y,Cxy=9v9x+9u9y垂直于X轴的横截面上Mx=Qh/2-h/2Rxzdz=-D92w9x2+v92w9y2My=Qh/2-h/2Ryzdz=-D92w9y2+v92w9x2Mxy=Qh/2-h/2Txyzdz=-D(1-v)92w9x9y弹性薄板的基本微分方程:Dý2ý2w=q结合弹性力学知识可得以下各式:Qx=-D99x(ý2w);Qy=-D99y(ý2w)Rx=12Mxh3z;Ry=12Myh3z;rxy=12Mxyh3z;rxz=32Qxh1-4z2h2;ryz=32Qyh1-4z2h2式中:D=Eh312(1-v2)为板的抗弯刚度。13设有四边固定的矩形薄板(如图1),长为2a,宽为2b,受垂直于板面的均布载荷q0作用,厚度为t,弹性模量为E,泊松比L=013,取坐标轴如图,求薄板的挠度。311解:(1)设置薄板的挠度函数为w=Emcmwm=(x2-a2)2(y2-b2)2(c1+c2x2+c3y2+,)(1)显然,式(1)满足薄板四周固定的位移边界条件,可以认为式(1)也满足了静力边界条件,因此,可用伽辽金法求解。(2)由满足式QQD(ý4w)wmdxdy=QQqwmdxdy确定c1,设式(1)中只取一项系数:w=c1(x2-a2)2(y2-b2)2=c1w1ý4w=8[3(y2-b2)2+3(x2-a2)2+4(3x2-a2)(3y2-b2)]c1Qa-aQb-b8D[3(y2-b2)2+3(x2-a2)2+4(3x2-a2)(3y2-b2)]c1(x2-a2)2(y2-b2)2dxdy=Qa-aQb-bq0(x2-a2)2(y2-b2)2dxdy_c1=7q0128(a4+b4+47a2b2)D(3)将c1代入式(1),得薄板的挠度为:[收稿日期]2007-06-22[作者简介]刘相(1981~),男,辽宁丹东人,防灾减灾与防护工程专业硕士研究生;崔熙光(1954~),男,教授,主要从事结构抗震与结构加固研究。99##四川建筑第28卷3期2008106w=7q0128(a4+b4+47a2b2)D(x2-a2)2(y2-b2)2对于正方形薄板(a=b),有:c1=49q02304Da4w=49q02304Da4(x2-a2)2(y2-b2)2wmax=(w)x=y=049q0a42304D=010213q0a4D若将挠度函数取为:w=EmEnCmn1+cosmPxa1+cosnPyb由边界条件,x=?a时,w=0,9w9x=0;y=?b时,w=0,9w9y=01+cosmP(?a)a=0,1+cosnP(?b)b=0(其中m,n为奇数)又9w9x=EmEnCmn-mPasinmPxa1+cosnPyb9w9y=EmEnCmn-nPbsinmPyb1+cosnPxa_x=?a,y=?b上有9w9x|x=?a=0,9w9y|y=?b=0因此满足边界条件。假定在上述w的三角级数式中只取一项,即:w=C111+cosPxa1+cosPyb利用迦辽金法取:w=w1=1+cosPxa1+cosPybý4w=94w9x4+294w9x29y2+94w9y4=C11Pa4sinPxa1+cosPyb+Pb4sinPyb1+cosPxa+2P4a2b2cosPxacosPyb利用Qa0Qb0D(ý4w)w1dxdy=Qa0Qb0qw1dxdy得:w=4q0a41+cosPxa1+cosPybP4D3+2a2b2+3a4b4正方形薄板时(a=b),有w=q0a42P4D1+cosPxa1+cosPybwmax=(w)x=y=0=010205q0a4/D分析:最大挠度分别比精确解(010202q0a4/D)大了514%、115%。由此可见,此挠度方程式比式(1)的挠度方程更接近于薄板的实际挠度曲面。312弹性薄板弯曲问题矩形单元的单元刚度矩阵为[K]e=Et3360ab(1-L2)K11K21K22对称K31K32K33K41K42K43K44式中:[K11]=21-6L+30b2a2+a2b23(1+4L)b+30a2b-3(1+4L)a-30b2a3(1+4L)b+30a2b8(1-L)b2+40a2-30Lab-3(1+4L)a-30b2a-30Lab8(1-L)a2+40b2[K21]=-21+6L+15a2b2-b2a2-3(1+4L)b+15a2b3(1-L)a+30b2a-3(1+4L)b+15a2b-8(1-L)b2+20a20-3(1-L)a-30b2a0-2(1-L)a2+20b2[K31]=21-6L-15a2b2-b2a23(1-L)b-15a2b-3(1-L)a+15b2a-3(1-L)b+15a2b2(1-L)b2+10a203(1-L)a-15b2a02(1-L)a2+10b2[K41]=-21+6L+15b2a2-a2b2-3(1-L)b-30a2b3(1+4L)a-15b2a3(1-L)b+30a2b-2(1-L)b2+20a203(1+4L)a-15b2a0-8(1-L)a2+20b2[K22]=21-6L+30a2b2+b2a23(1+4L)b+30a2b3(1+4L)a+30b2a3(1+4L)b+30a2b8(1-L)b2+40a230Lab3(1+4L)a+30b2a30Lab8(1-L)a2+40b2[K32]=-21+6L+15b2a2-2a2b2-3(1-L)b-30a2b-3(1+4L)a+15b2a3(1-L)b+30a2b-2(1-L)b2+20a20-3(1+4L)a+15b2a0-8(1-L)a2+20b2[K42]=21-6L-15a2b2+b2a23(1-L)b-15a2b3(1-L)a-15b2a3(1-L)b+30a2b2(1-L)b2+10a20-3(1-L)a+15b2a02(1-L)a2+10b2[K33]=21-6L+30a2b2+b2a2-3(1+4L)b-30a2b3(1+4L)a+30b2a-3(1+4L)b-30a2b8(1-L)b2+40a2-30Lab3(1+4L)a+30b2a-30Lab8(1-L)a2+40b2(下转第103页)100##四川建筑第28卷3期2008106(8)采用优质的低水化热的混凝土配合比;采用标准化、系列化、通用化的箱梁模板支架体系,保证浇筑混凝土后不发生超过允许的沉降量,必要时进行预压,然后进行下一工序;优化混凝土浇筑工艺,控制混凝土浇筑顺序;严格切实地执行科学的养护方法。4预应力混凝土现浇箱梁桥的裂缝控制,除了严格按有关桥梁规范进行结构设计以外,一方面,在设计方面应考虑有效的抗裂措施;另一方面,应完善施工工艺,包括合理的混凝土配合比、可靠的模板支架体系、正确的混凝土浇筑工艺、科学的养护方法等,那么大多数裂缝都是可以预防的。[1]范立础.桥梁工程(上、下)[M].北京:人民交通出版社,2001.[2]张继尧,王昌将.悬臂浇筑预应力混凝土连续梁桥[M].北京:人民交通出版社,2004.[3]顾凯峰,彭卫.预应力混凝土连续箱梁腹板斜裂缝研究[J].公路,2004,7(7).[4]杨晓玲,陈相林.箱梁腹板开裂与竖向预应力质量的探讨[J].湖南交通科技,2001,3(1).[5]刘山洪,钱永久.大跨PC箱梁桥腹板裂缝的控制研究[J].重庆交通学院学报,2005,8(5).[6]李俊,李小珍,卫星,等.连续刚构桥底板纵向裂缝原因分析[J].公路,2005,9(9).(上接第100页)[K43]=-21+6L+15a2b2-2b2a23(1+4L)b-15a2b-3(1-L)a-30b2a3(1+4L)b-15a2b-8(1-L)b2+20a203(1-L)a+30b2a0-2(1-L)a2+20b2[K44]=21-6L+30a2b2+b2a2-3(1+4L)b-30a2b-3(1+4L)a-30b2a-3(1+4L)b-30a2b8(1-L)b2+40a230Lab-3(1+4L)a-30b2a30Lab8(1-L)a2+40b2解:(1)单元划分为了简单起见,采用最简单的2@2网格,即把薄板分成四个矩形单元。由于对称性,只需计算一个单元,例如图1中阴影的单元,单元的节点编号为1,2,3,4。(2)计算节点荷载矩形单元受均布法向荷载q0作用,这时{FR}e=q0a1b1[1b13-a131b13a131-b13a131-b13-a13]T(3)边界条件对称轴边界:法线转角=0;固定边界:挠度=0(或已知值);边线转角=0(或已知值);法线转角=0(或已知值)这是只有一个单元的计算对象,因此,结构的总刚度方程就是单元1的单元刚度方程。引入支承条件后,在总刚度矩阵中只取第一行第一列元素,在方程组右端项{FR}e中只保留第一个元素。于是结构的代数方程为:Et3360a1b1(1-L)2K11w1=q0a1b1其中K11=21-6L+30b21a21+a21b21即:Et3360a1b1(1-L2)21-6L+30b21a21+a21b21w1=q0a1b1_w1=360q0a21b21(1-L2)Et321-6L+30b21a21+a21b21正方形薄板时a1=b1=a/2时,w1=360q0a22a22(1-L2)Et3(21-6L+30@2)=360q0a416(1-L2)Et3(81-6L)=360192(81-6L)#q0a4DD=Et312(1-L2)L=013时,w1=0102367q0a4/D;采用4@4网格时,w1=010224q0a4/D;采用8@8网格时,w1=010208q0a4/D分析:最大挠度分别比精确解(010202q0a4/D)大了1712%、1019%、2197%,且网格划分的越密,计算结果越接近精确答案。4经典解法是要选择合理的挠度函数,而这些函数的选取具有一定的任意性,无确定的规律可循。当挠度函数越接近实际的挠度曲线时挠度越精确,而用有限单元法计算虽然要求输入数据多,比较繁杂,但随着划分网格数量的增多,其解的精确度逐渐提高,对于一些实际工程的板材很难选择合理的挠度函数时,用有限单元法就比较方便。[1]赵均海,汪梦甫.弹性力学及有限元[M].武汉理工大学出版社,2003:78,96-97.[2]徐芝纶.弹性力学[M].北京:高等教育出版社,2004:94-96.[3]江见鲸,何放龙,何益斌,等.有限元法及其应用[M].北京:机械工业出版社,2006:70-75.103##