专题11 平面向量小题全归类（练习）（原卷版）

专题11平面向量小题全归类目录01平面向量基本定理及其应用............................................................................................................202平面向量共线的充要条件及其应用................................................................................................203平面向量的数量积...........................................................................................................................304平面向量的模与夹角.......................................................................................................................405等和线问题......................................................................................................................................406极化恒等式......................................................................................................................................507矩形大法..........................................................................................................................................508平面向量范围与最值问题................................................................................................................609等差线、等商线问题.......................................................................................................................710奔驰定理与向量四心.......................................................................................................................911阿波罗尼斯圆问题.........................................................................................................................1012平行四边形大法.............................................................................................................................1113向量对角线定理.............................................................................................................................1101平面向量基本定理及其应用1．（2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）已知a，b是两个不共线的向量，23mab，42nab，3pab，则（）A．568nmpB．568nmpC．11108nmpD．11108nmp2．（2023·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知1,,,ABBCCDABBCACCDAC与BD交于点O，若DOABAC，则（）A．21B．12C．21D．213．（2023·广东肇庆·统考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，13AEAD，14BFBC，CE与DF交于点O.设ABa，ADb，若AOab，则（）A．817B．1917C．317D．111702平面向量共线的充要条件及其应用4．（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）如图，在ABC中，点O满足2BOOC，过点O的直线分别交直线,ABAC于不同的两点,MN.设,ABmAM,ACnAN则22mn的最小值是（）A．95B．2C．2D．3555．（2023·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）△ABC中，D为AB上一点且满足12ADDB，若P为线段CD上一点，且满足APABAC（，为正实数），则113的最小值为（）A．3B．4C．5D．66．（2023·浙江宁波·高二校联考期末）在ABC中，点O满足2COOB，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且AMmAB，ANnAC，则2mn的最小值为（）A．83B．103C．3D．403平面向量的数量积7．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点1(cos,sin)P，2(cos,sin)P，3(cos()P，sin())，(1,0)A，则()A．12||||OPOPB．12||||APAPC．312OAOPOPOPD．123OAOPOPOP8．（2023·安徽安庆·高三安庆市第十中学校考阶段练习）已知在ABC中，3AB，4AC，π3BAC，2ADDB，P在CD上，12APACAD，则APBC.9．（2023·上海静安·高三校考阶段练习）已知向量(1,3)a，且,ab的夹角为π3，()(23)4abab，则b在a方向上的投影向量等于．10．（2023·上海闵行·高三校考期中）平面上有一组互不相等的单位向量1OA，2OA，…，nOA，若存在单位向量OP满足120nOPOAOPOAOPOA，则称OP是向量组1OA，2OA，…，nOA的平衡向量．已知12π,3OAOA，向量OP是向量组OA，2OA，3OA的平衡向量，当3OPOA取得最大值时，13OAOA的值为．04平面向量的模与夹角11．（2023•北京）已知向量a，b满足(2,3)ab，(2,1)ab，则22||||(ab)A．2B．1C．0D．112．（2023•甲卷）向量||||1ab，||2c，且0abc，则cosac，(bc)A．15B．25C．25D．4513．（2023·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）已知正三角形ABC的边长为1，设ABa，ACb．则2ab与32ab的夹角=．14．（2023·全国·模拟预测）已知向量1,1,1,1ab，若实数,mn满足1mn，则amb与anb的夹角为．15．（2023·四川广安·高三校考阶段练习）已知向量1,3a，3,bm，且b在a方向上的投影数量为3，则向量a与b的夹角为．05等和线问题16．（2023·湖北·高一校联考期中）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为90，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OCxOAyOB，其中,xyR，则35xy的最大值为（）A．34B．5C．37D．617．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OCxOAyOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是（）A．1B．2C．3D．218．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考期中）在ABC中，3AC，4BC，90C.P为ABC所在平面内的动点，且2PC，若CPCACB，则给出下面四个结论：①的最小值为45；②PAPB的最小值为6；③的最大值为34；④PAPB的最大值为10.其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．419．（2023·吉林·统考一模）在直角三角形ABC中，90A，ABC的重心、外心、垂心、内心分别为1G，2G，3G，4G，若iiiAGABAC（其中1,2,3,4i），当ii取最大值时，i（）A．1B．2C．3D．406极化恒等式20．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PMPN的取值范围是_________．21．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，4AD，83AB，12BC，则BEBF的取值范围为________________．22．（2023·陕西榆林·三模）四边形ABCD为菱形，30BAC，6AB，P是菱形ABCD所在平面的任意一点，则PAPC的最小值为________．07矩形大法23．设向量a，b，c满足||||1ab，12ab，()()0acbc，则||c的最小值是（）A．312B．312C．3D．124．（2023·河北石家庄·高三阶段练习）已知向量a，b，c满足||=2a，3bab，若(2)(23)0cabc，则bc的最大值是．25．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a、b满足2abab且0acbc，则2bc的最大值为.08平面向量范围与最值问题26．（2022•上海）在ABC中，90A，2ABAC，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则MPCP的最小值为．27．（2023•上海）已知OA、OB、OC为空间中三组单位向量，且OAOB、OAOC，OB与OC夹角为60，点P为空间任意一点，且||1OP，满足||||||OPOCOPOBOPOA剟，则||OPOC最大值为．28．（多选题）（2023·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知2,0P，cos,sinA，cos,sinB，A，B两点不重合，则（）A．PAPB的最大值为2B．PAPB的最大值为2C．若PAPB，PAPB最大值为3D．若PAPB，PAPB最大值为429．（多选题）（2023·福建南平·高一武夷山一中校考期中）圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、割线定理、切割线定理的统一，（其中相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，例如，如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于AC与BD，则PAPCPBPD），如下图，已知圆O的半径为3，点P是圆O内的定点，且2OP，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（）A．PA·8PCB．OB·OD的取值范围是9,1C．当AC⊥BD时，AB·CD为定值D．AC⊥BD时，AC·BD的最大值为2830．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）在平面四边形OACB中，π,3,3OAOBOAOBAA