微考点7-2 递推方法计算概率与一维马尔科夫过程（数列与概率结合）（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】微考点7-2递推方法计算概率与一维马尔科夫过程（数列与概率结合）【考点分析】①转移概率：对于有限状态集合S，定义：)|(1,injnjiXXPP为从状态i到状态j的转移概率.②马尔可夫链：若ijinjniininjnPXXPXXXXPn)|(),,,|(101101，即未来状态1nX只受当前状态nX的影响，与之前的021,,,XXXnn无关.③完备事件组：如果样本空间中一组事件组},,{21nAAA符合下列两个条件：（1）njijiAAji,2,1,,,；（2）knkA1.则称},,{21nAAA是的一个完备事件组，也称是的一个分割.④全概率公式：设},,{21nAAA是一个完备事件组，则有)|()()(1knkkABPAPBP⑤一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻0t时，位于点)(Niix，下一个时刻，它将以概率或者（1),1,0(）向左或者向右平移一个单位.若记状态itX表示：在时刻t该点位于位置)(Niix，那么由全概率公式可得：)|()()|()()(1111111itititititititXXPXPXXPXPXP另一方面，由于)|(,)|(1111ititititXXPXXP，代入上式可得：11iiiPPP.进一步，我们假设在0x与),0(Nmmmx处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，1,00mPP.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a，原地不动，其概率为b，向右平移一个单位，其概率为c，那么根据全概率公式可得：11iiiicPbPaPP【淘宝店铺：向阳百分百】【精选例题】【例1】（2023·新高考1卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量iX服从两点分布，且110,1,2,,iiiPXPXqin，则11nniiiiEXq．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求EY．解析：（1）记“第i次投篮的人是甲”为事件iA，“第i次投篮的人是乙”为事件iB，所以，21212121121||PBPABPBBPAPBAPBPBB0.510.60.50.80.6.（2）设iiPAp，依题可知，1iiPBp，则11111||iiiiiiiiiiiPAPAAPBAPAPAAPBPAB，即10.610.810.40.2iiiipppp，构造等比数列ip，设125iipp，解得13，则1121353iipp，又11111,236pp，所以13ip是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653iiiipp．（3）因为1121653iip，1,2,,in，所以当*Nn时，122115251263185315nnnnnEYppp，故52()11853nnEY．【例2】某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的3nn位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第n1位员工再从第n1个暗盒【淘宝店铺：向阳百分百】里面取出1个球并放入第n个暗盒里.第n位员工从第n个暗盒中取出1个球，游戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第1iin位员工获得奖金为iX元.(1)求21000X的概率；(2)求iX的数学期望iEX，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.【答案】(1)1116；(2)5001534iiEX，第1位【详解】（1）21000X的情形为第2位员工从第2个盒子中摸出红球，包括两种情况：①第1位员工从从第1个盒子中摸出红球放入第2个盒子后第2位员工摸出红球；②第1位员工从从第1个盒子中摸出白球放入第2个盒子后第2位员工摸出红球.故21000X的概率为：2331111(1000)444216PX.（2）设第i位员工取出红球的概率为.iP则有1311114242iiiiPPPP,即：1212343iiPP，且11321,04312PP故23iP组成首项为112，公比为14的等比数列.121111,312434iiiP即211334iiP；第i位员工取出白球的概率为1111334iiP.易知X的所有可能取值为1000,500,则X的分布列如下：iX1000500P211334i111334i2111111000[()]500334334iiiEX4211115001500500533433434iii；显然iEX关于i单调递减，第1位员工获得奖金额的数学期望最大.【例3】网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第*,89nnnN天进行有氧训练，则第1n天进行有氧训练的概率为59，第1n天进行无氧训练的概率为49；若运动员第n天进行无氧训练，则第1n天进行有氧训练的概率为79，第1n天进行无氧训【淘宝店铺：向阳百分百】练的概率为29．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等．(1)封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为X，求X的分布列与数学期望；(2)封闭集训期间，记某运动员第n天进行有氧训练的概率为nP，求45P．【答案】(1)分布列见解析，2；(2)4312733911【详解】（1）设运动员第2天进行有氧训练为事件M，第2天进行无氧训练为事件N，则1517122()2929183PM，141231()292993PN，所以3名运动员第2天进行有氧训练的人数2~3,3XB，可知0,1,2,3X，则311(0)327PX，213212(1)C339PX，223214(2)C339PX，328(3)327PX，所以X的分布列为X0123P1272949827所以2()323EX．（2）依题意可得157199nnnPPP，即129nnPP79（*nN，且89n）．则172711911nnPP（*nN，且89n），且1717301121122P，所以数列711nP是首项为322，公比为29的等比数列，则173211229nnP，即322nP127911n，所以4443453271272291133911P．【例4】甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．(1)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．(2)若规定两人起始分都为2分，记()Pi（0,1,2,3,4i）为甲累计总分为i时，甲最终获胜的概率，则(0)0,(4)1PP①求证(1)()PiPi（0,1,2,3i）为等比数列【淘宝店铺：向阳百分百】②求(2)P的值．【答案】(1)0.0348；(2)①证明见解析；②413【详解】（1）记在每一轮比赛中甲得为事件A，0.510.60.2PA（），乙得为事件B，10.50.60.3PB（），得0分为事件C，10.5PCPAPB．记“恰好经过4轮比赛，甲获胜”为事件D则121232()C0.20.50.2C0.20.30.20.0348PD，所以恰好经过4轮，甲赢得比赛的概率为0.0348.（2）记甲累计总分为i时，甲最终获胜为事件M，则()()(|)()(|)()(|)PMPAPMAPBPMBPCPMC即()0.2(1)0.3(1)0.5()PiPiPiPi整理可得3(1)()(()(1))2PiPiPiPi且显然(1)(0)(1)0PPP，(1)()(0,1,2,3)PiPii为等比数列，且首项为(1)P，公比为32，②(1)(0)(1)PPP，3(2)(1)(1)2PPP，9(3)(2)(1)4PPP，27(4)(3)(1)8PPP，叠加可得65(4)(0)(1)8PPP，而8(1)65P，54(2)(1)213PP【例5】某学校新校区在校园里边种植了一种漂亮的植物，会开出粉红色或黄色的花．这种植物第1代开粉红色花和黄色花的概率都是12，从第2代开始，若上一代开粉红色的花，则这一代开粉红色的花的概率是35，开黄色花的概率是25；若上一代开黄色的花，则这一代开粉红色的花的概率为15，开黄色花的概率为45．设第n代开粉红色花的概率为nP．(1)求第2代开黄色花的概率；(2)证明：111325niiiiPPP．【答案】(1)35；(2)证明见解析【详解】（1）设事件iA表示第i代开粉红色花，事件iB表示第i代开黄色花，由题意可得21211211214325255PBPAPBAPBPBB，所以第2代开黄色花的概率为35．（2）由题可知112P，1131155nnnPPP，即12155nnPP．设25nP（1nP），则12355nnPP，3155，解得13，即121353nnPP，所以13nP是以16为首项，25为公比的等比数列；可得1112365nnP，即1112365nnP；因此【淘宝店铺：向阳百分百】111112131125511211211211253