专题5 空间向量与立体几何 （解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】专题5空间向量与立体几何01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析·解密高考03高频考点·以考定法（四大命题方向+五道高考预测试题，高考必考22-27分）命题点1多面体表面积体积问题命题点2多面体内切外接问题命题点3空间几何体中角度问题命题点4空间几何体中动点问题04创新好题·分层训练（精选9道最新名校模拟试题+9道易错提升）空间几何体常用以及易错知识点空间角向量求法范围异面直线所成的角设两条异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为v1，v2，则cosθ=|cosv1，v2|=(θ与v1，v2相等或互补)(，]直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则sinθ=|cosv，n|=(，或，) (，]两个平面所成的角设平面α，β所成的角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ=|cosn1，n2|=(θ与n1，n2相等或互补) (，](1)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角为0；(2)两个平面相交会形成四个二面角，二面角的取值范围为[0，π]，一般规定较小的二面角为两个平面所成的角.两个平面平行时，它们所成的角为0.【淘宝店铺：向阳百分百】空间距离向量求法点到直线的距离设直线l的方向向量为v，点P为l外一点，点A为l上任一点，则点P到l的距离d=√⃗⃗⃗⃗⃗()点到平面的距离设n为平面α的法向量，点A为平面α内任一点，则平面α外任一点P到平面α的距离d=⃗⃗⃗⃗⃗两平行线间的距离在平行直线m，n上分别任取一点A，P，设直线m的方向向量为v，则两平行线m，n间的距离d=√⃗⃗⃗⃗⃗(⃗⃗⃗⃗⃗)(也可转化为点线距求解)两平行平面间的距离在平行平面α，β上各取一点A，B，设平面α的法向量为n，则两平行平面α，β之间的距离d=⃗⃗⃗⃗⃗⃗(也可转化为点面距求解)1.四点共面的充要条件空间中任一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x⃗⃗⃗⃗⃗⃗+y⃗⃗⃗⃗⃗⃗，或对空间中任一点O，有⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗+x⃗⃗⃗⃗⃗⃗+y⃗⃗⃗⃗⃗⃗(或⃗⃗⃗⃗⃗=(1-x-y)·⃗⃗⃗⃗⃗⃗+x⃗⃗⃗⃗⃗+y⃗⃗⃗⃗⃗).2.定比分点坐标公式已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，点M在直线AB上，⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R且λ≠-1)则称点M为有向线段⃗⃗⃗⃗⃗的定比分点，其坐标为(，，).【淘宝店铺：向阳百分百】空间几何体是高考中必考点，一般以2+1或者是3+1形式出现，主要考查多面体体积以及内切外接问题，必考题型为空间二面角问题真题多维细目表考点考向考题立体几何①多面体表面积体积问题②多面体内切外接问题③空间几何题角度问题④空间几何体动点问题2023新全国Ⅰ卷T12T14全国ⅡT9T14全国乙T8全国甲T112022全国甲卷T9新全国Ⅰ卷T4全国ⅡT112021全国Ⅰ卷T202023新高考Ⅰ卷T12全国乙卷T16全国甲卷T152022全国乙卷T9新高考Ⅰ卷T8全国ⅡT72021Q全国甲卷T72023新高考Ⅰ卷T18全国乙卷T19全国甲卷T182022全国乙卷T18新高考ⅡT20新高考Ⅰ卷T19甲卷T182021全国乙卷T5T18新高考Ⅰ卷T202023新高考ⅠT182021全国甲卷T19【淘宝店铺：向阳百分百】命题点1多面体表面积体积问题典例01．（2022·全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A．5B．22C．10D．5104【答案】C【详解】解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆锥底面圆半径为2r，则11222SrlrSrlr甲乙，所以122rr，又12222rrll，则121rrl，所以1221,33rlrl，所以甲圆锥的高2214593hlll，乙圆锥的高22212293hlll，所以22112222145393101122393rhllVVrhll甲乙.故选：C.典例02（2023·全国Ⅱ）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，120APB，2PA，点C在底面圆周上，且二面角PACO为45°，则（）．A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43πC．22ACD．PAC△的面积为3【答案】AC【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.【详解】依题意，120APB，2PA，所以1,3OPOAOB，A选项，圆锥的体积为21π31π3，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为π3223π，B选项错误；C选项，设D是AC的中点，连接,ODPD，则,ACODACPD，所以PDO是二面角PACO的平面角，则45PDO，所以1OPOD，故312ADCD，则22AC，C选项正确；【淘宝店铺：向阳百分百】D选项，22112PD，所以122222PACS，D选项错误.故选：AC.典例03．（2023·全国·Ⅰ卷）在正四棱台1111ABCDABCD中，1112,1,2ABABAA，则该棱台的体积为．【答案】766/766【详解】如图，过1A作1AMAC，垂足为M，易知1AM为四棱台1111ABCDABCD的高，因为1112,1,2ABABAA，则11111111112,22222222AOACABAOACAB，故111222AMACAC，则221116222AMAAAM，所以所求体积为1676(4141)326V.故答案为：766.典例04．（2023·全国乙卷）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，2AB，22BC，6PBPC，,,BPAPBC的中点分别为,,DEO，点F在AC上，BFAO．【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证：EF//平面ADO；(2)若120POF，求三棱锥PABC的体积．【答案】(1)证明见解析(2)263【详解】（1）连接,DEOF，设AFtAC，则(1)BFBAAFtBAtBC，12AOBABC，BFAO，则2211[(1)]()(1)4(1)4022BFAOtBAtBCBABCtBAtBCtt，解得12t，则F为AC的中点，由,,,DEOF分别为,,,PBPABCAC的中点，于是11//,,//,22DEABDEABOFABOFAB，即,//DEOFDEOF，则四边形ODEF为平行四边形，//,EFDOEFDO，又EF平面,ADODO平面ADO，所以//EF平面ADO.（2）过P作PM垂直FO的延长线交于点M，因为,PBPCO是BC中点，所以POBC，在RtPBO△中，16,22PBBOBC，所以22622POPBOB，因为,//ABBCOFAB，所以OFBC，又POOFO，,POOF平面POF，所以BC平面POF，又PM平面POF，所以BCPM，又BCFMO，,BCFM平面ABC，所以PM平面ABC，即三棱锥PABC的高为PM，因为120POF，所以60POM，所以3sin60232PMPO，又112222222ABCSABBC△，所以1126223333PABCABCVSPM△.【淘宝店铺：向阳百分百】命题点2多面体内切外接问题典例01（2022·全国Ⅰ卷）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且333l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．8118,4B．2781,44C．2764,43D．[18,27]【答案】C【详解】∵球的体积为36，所以球的半径3R,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则2222lah，22232(3)ah,所以26hl，2222alh所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936lllVShahll，所以5233112449696llVll，当326l时，0V，当2633l时，0V，所以当26l时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为643，又3l时，274V，33l时，814V,所以正四棱锥的体积V的最小值为274，【淘宝店铺：向阳百分百】所以该正四棱锥体积的取值范围是276443，.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以3221224211646122(333333hhhVahhhhhhh„当且仅当4h取到)，当32h时，得332a，则22min1133327();33242Vah当33l时，球心在正四棱锥高线上，此时39322h，23333222aa，正四棱锥体积221113398164()332432Vah，故该正四棱锥体积的取值范围是2764[,].43典例02（2023·全国Ⅰ卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体【答案】ABD【详解】对于选项A：因为0.99m1m，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线长为2m，且21.4，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为3m，且31.8，所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；对于选项D：因为1.2m1m，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过1AC的中点O作1OEAC，设OEACEI，可知1132,1,3,=2ACCCACOA，则11tanCCOECACACAO，即1232OE，解得64OE，且2263990.6482425，即60.64，故以1AC为轴可能对称放置底面直径为1.2m圆柱，若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心1O，与正方体的下底面的切点为【淘宝店铺：向阳百分百】M，可知：111,0.6ACOMOM，则1111tanCCOMCACACAO，即110.62AO，解得10.62AO，根据对称性可知圆柱的高为320.621.7321.21.4140.03520.01，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.典例03．（2023·全国乙卷）已知点,,,SABC均在半径为2的球面上，ABC是边长为3的等边三角形，SA平面ABC，则SA．【答案】2【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.【详解】如图，将三棱锥SABC转化为正三棱柱SMNABC-，设ABC的外接圆圆心为1O，半径为r，则3223sin32ABrACB，可得3r，设三棱锥SABC的外接球球心为O，连接1,OAOO，则112,2OAOOSA，因为22211OAOOOA，即21434SA，解得2SA.故答案为：2.【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法【淘宝店铺：向阳百分百】（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂