微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】微考点6-2圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：①一般方法：dABS21（其中AB为弦长，d为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式mkxy.进一步，dABS21=20011221214)(121kmykxxxxxk②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x轴或者y轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x轴或者y轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.21212121()42PABPQAPQBABSSSPQyyPQyyyy21212121()42PABPQAPQBABSSSPQxxPQxxxx③坐标法：设),(),,(2211yxByxA，则||211221yxyxSAOB④面积比的转化：三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.【淘宝店铺：向阳百分百】⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆2222:10xyEabab，1F，2F分别为左右焦点，点10,2P，262,3P在椭圆E上.(1)求椭圆E的离心率；(2)过左焦点1F且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若AB的中点为M，O为原点，直线OM交直线3x于点N，求1ABNF取最大值时直线l的方程.【答案】(1)63，(2)2yx（1）解：将10,2P，262,3P代入椭圆方程，2222220216321abab解得62ab，所以椭圆E的方程为22162xy，又222cab，所以2636cea（2）解：设直线l方程为2(0)ykxk，11,Axy，22,Bxy，联立221622xyykx可得222231121260kxkxk；则22410k，且21221231kxxk，212212631kxxk，设AB的中点00,Mxy，则212026231xxkxk，20226223131kkykkk，∴M坐标为22262,3131kkkk，2222226126113131kkABkkk，因此直线OM的方程为13yxk，从而点N为13,k，又12,0F，1211NFk，所以222222124131kkABNFk，令2311tk，则【淘宝店铺：向阳百分百】222121611116119833223416tthttttt，因此当4t，即1k时，ht最大值为3.所以1ABNF的最大值为3，此时，直线l的方程为2yx.【例2】已知圆1O：224924xy和圆2O：22124xy，以动点P为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切，记动点P的轨迹为T．(1)求轨迹T的方程；(2)若斜率为1的直线交轨迹T于A，B两点，求AB的长度的最大值．【答案】(1)22142xy；(2)463.【分析】（1）确定圆2O在圆1O内，设(,)Pxy且对应圆半径为r，根据题设及两点距离公式得到r关于x关系，代入距离公式整理即得轨迹方程；（2）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式建立关系并求出最大值即得.【详解】（1）依题意，圆1O的圆心1(2,0)O，半径172r，圆2O的圆心2(2,0)O，半径212r，显然1212||223OOrr，即圆2O在圆1O内，设(,)Pxy，半径为r，显然以P为圆心的圆与圆2O外切，与圆1O内切，则有222222722322322122xyrxxrrxyr，则222222(2)(2)1242xyxyx，所以轨迹T的方程为22142xy.【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）知，轨迹T的方程为22142xy，设直线AB的方程为yxt，由2224yxtxy消去y并整理得2234240xtxt，显然221624(2)0tt，解得66t，设1122(,),(,)AxyBxy，则21212424,33ttxxxx，因此222221212168164646||1(1)()429333tttABxxxx，当且仅当0t时取等号，所以AB长度的最大值为463.【跟踪训练】1.已知椭圆C：222210xyabab，圆O：22320xyxy，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点1,0作两条相互垂直的直线1l，2l，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求ABDE的取值范围．【答案】(1)22143xy，(2)48[,7]7(1)圆O：22320xyxy与x轴的交点为(2,0),(1,0)，即椭圆C的左顶点及右焦点分别为(2,0),(1,0)，故2,1ac，故3b，所以椭圆C的方程为：22143xy；(2)当直线1l，2l中，有一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0时，弦长分别为223,24baa，此时7ABDE；当直线1l，2l斜率都存在时，设11122:1(0),(,),(,)lxmymAxyBxy,联立221143xmyxy，可得22(34)690mymy，223636(34)0mm，12122269,3434myyymym，2222121212212(1)||1||1()434mABmyymyyyym，同理2212(1)||43mDEm，2222222222212(1)12(1)1184(1)||||12(1)()34433443(34)(43)mmmABDEmmmmmmm，令21tm，则(1,)t，2222848484||||1149(31)(41)121()24ttABDEttttt，因为(1,)t，所以148(0,1),||||[,7)7ABDEt，所以ABDE的取值范围为48[,7]7.【淘宝店铺：向阳百分百】2．已知椭圆C：222210xyabab的两焦点11,0F，21,0F，且椭圆C过33,2P.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点1F作不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值为18，求AB的取值范围.【答案】(1)22143xy(2)13[4,15]4．【分析】（1）由题意列出方程组，求解即可；（2）设直线l的方程为1(xmym为不等于0的实数），联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得AB中点坐标，进而得线段AB的中垂线方程，求出Q的纵坐标，结合题意求得223m，由弦长公式可得21||4(1)34ABm，令21()4(1)34gmm，223m，根据函数()gm的单调性求出其值域即得答案．【详解】（1）由题意可得：2222213314cabcab，解得2,31abc，所以椭圆的方程为：22143xy；（2）因为左焦点1(1,0)F，由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为1(xmym为不等于0的实数），1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，由221431xyxmy，可得22(34)690mymy，则222(6)36(34)144(1)0mmm，122634myym，122934yym，所以121228()234xxmyym，所以AB的中点为24(34m，23)34mm，所以线段AB的中垂线方程为：2234()3434mymxmm，【淘宝店铺：向阳百分百】令0x，则2434ym，即Q点纵坐标为234mm，又因为是与y轴交于负半轴，所以24034m，0m，又因为点Q的纵坐标的最大值为18，所以21348mm，解得223m，又因为221212||()()ABxxyy2121||myy2212121()4myyyy2222691()4()3434mmmm222144(1)134mmm2212(1)34mm214(1)34m，因为223m，令21()4(1)34gmm，223m，由于函数234ym在223m单调递增，所以()gm在2[3,2]上单调递增，所以min213()()34gmg，max15()24gmg，所以13()[4gm，15]4，即||AB的取值范围为：13[4,15]4．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】【淘宝店铺：向阳百分百】【例1】已知椭圆的方程为222210xyabab，称圆心在坐标原点O，半径为22ab的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为2，离心率为33．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l与椭圆交于A、B两点，与其“蒙日圆”交于C、D两点，当4CD时，求AOB面积的最大值．【答案】(1)22132xy；(2)62【分析】（1）根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；（2）对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l的斜率不存在时，根据CD的值求出l的方程，进而可求得OAB的面积；在直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，根据4CD可得出221mk，将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、三角形的面积公式以及基本不等式可求得OAB面积的最大值.【详解】（1）解：因为椭圆2222:10xyabab的焦距为2，离心率为33，则222233ccabac，可得321abc，故椭圆的方程为22132xy