微考点6-4 利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】微考点6-4利用二级结论秒杀椭圆双曲线中的选填题【考点目录】考点一：椭圆焦点三角形的面积秒杀公式考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为b考点四：双曲线中，焦点三角形的内心I的轨迹方程为)0,(ybybax.考点五：椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式考点六：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式考点七：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式【考点分类】考点一：椭圆焦点三角形的面积为2tan2Sb（为焦距对应的张角）证明：设12,PFmPFn122222221222cos2121cos1sin32FPFmnabcmnmnmnSmn，：V1222222sincossin22tan1cos22cos2FPFSbbbV．双曲线中焦点三角形的面积为2tan2bS（为焦距对应的张角）【精选例题】【例1】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,FF为椭圆C：221164xy的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQFF，则四边形12PFQF的面积为________．【答案】8【解析】因为,PQ为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF，所以四边形12PFQF为矩形，【淘宝店铺：向阳百分百】设12||,||PFmPFn，则228,48mnmn，所以22264()2482mnmmnnmn，8mn，即四边形12PFQF面积等于8.故答案为：8.【例2】设1F，2F是双曲线22:13yCx的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP，则△12PFF的面积为（）A．72B．3C．52D．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)FF，则1,2ac，∵121||1||2OPFF，∴点P在以12FF为直径的圆上]即12FFP是以P为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PFPFFF，即2212||||16PFPF，又12||||22PFPFa，∴2124||||PFPF2212||||2PFPF12||||162PFPF12||||PFPF，解得12||||6PFPF，∴12FFPS△121||||32PFPF，故选B．【跟踪训练】1.设P为椭圆221259xy上一点，1,F2F为左右焦点，若1260FPF，则P点的纵坐标为（）A．334B．334C．934D．934【答案】B【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan2Sb求解即可.【详解】由题知12609tan332FPFS.设P点的纵坐标为h，则123343231FFhh.故选：B2.设双曲线2222:1(00)xyCabab，的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为5．P是C上一点，且12FPFP．若△12PFF的面积为4，则a（）A．1B．2C．4D．8【答案】A解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan221bSFPF．∴45tan2b=4，则2b，【淘宝店铺：向阳百分百】又∵5ace，∴1a．考点二：中点弦问题（点差法）秒杀公式若椭圆与直线l交于AB两点，M为AB中点，且ABk与OMk斜率存在时，则22abKkOMAB；（焦点在x轴上时），当焦点在y轴上时，22baKkOMAB若AB过椭圆的中心，P为椭圆上异于AB任意一点，22abKkPBPA（焦点在x轴上时），当焦点在y轴上时，22baKkPBPA下述证明均选择焦点在x轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．直径问题证明：设00()Pxy，，11()Axy，，因为AB过原点，由对称性可知，点11()Bxy，，所以2120212010101010xxyyxxyyxxyykkPBPA．又因为点00()Pxy，，11()Axy，在椭圆上，所以有)2(1)1(1221221220220byaxbyax．两式相减得2221202120abxxyy，所以PBPAkk22ab．中点弦问题证明：设11Axy，，22Bxy，，00Mxy，则椭圆2211222222221112xyabxyab两式相减得2222122221yybxxa122220212121222122122021112====2ABOMyyyyyyyyybkkxxxxxxexxxa．双曲线中焦点在x轴上为22abkkABOM，焦点在y轴上为22bakkABOM，【精选例题】【例1】已知椭圆2222:1(0)xyGabab的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，1），则G的方程为A．2214536xyB．2213627xyC．2212718xyD．221189xy【答案】D【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设1122(,),(,)AxyBxy，则12xx=2，12yy=－2，2211221xyab，①2222221xyab，②①－②得1212121222()()()()0xxxxyyyyab，所以ABk=1212yyxx=212212()()bxxayy=22ba，又ABk=0131=12，所以22ba=12，又9=2c=22ab，解得2b=9，2a=18，所以椭圆方程为221189xy，故选D【例2】过双曲线C：22221xyab（0a，0b）的焦点且斜率不为0的直线交C于A，B两点，D为AB中点，若12ABODkk，则C的离心率为（）A．6B．2C．3D．62【答案】D【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线C的方程联立，利用设而不求的方法及条件12ABODkk得到关于ac、的关系，进而求得双曲线C的离心率【详解】不妨设过双曲线C的焦点且斜率不为0的直线为(),0ykxck，令1122,,()()AxyBxy，由22221()xyabykxc，整理得2222222222220bakxakcxakcab则222222212122222222akcakcabxxxxakbakb，，222222222()akckbcDakbakb，则22222ODkbcbkakcak，由12ABODkk，可得2212bkak则有222ab，即2232ac，则双曲线C的离心率62cea==，故选：D【例3】已知椭圆C：22221(0)xyabab的左、右顶点分别为1A，2A，上、下顶点分别为1B，2B．点M为C上不在坐标轴上的任意一点，且1MA，2MA，1MB，2MB四条直线的斜率之积大于19，则C的离心率可以是A．33B．63C．23D．73【答案】AC【分析】根据椭圆的概念、标准方程及简单几何性质，结合题意即可求解.【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】设00,Mxy，依题意可得2200221xyab，则2222002byaxa，2222002axbyb，又1212,0,,0,0,,0,AaAaBbBb，所以121222222000000222200000019MAMAMBMByyybybyybbkkkkxaxaxxxaxa，2213ba，从而22610,3bea.故选：AC.【跟踪训练】1.已知M为双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点，A为双曲线右支上一点，若点A关于双曲线中心O的对称点为B，设直线MA、MB的倾斜角分别为、，且1tantan4，则双曲线的离心率为（）A．5B．3C．62D．52【答案】D【分析】设出,AB坐标，根据题意得14MAMBkk，代入斜率公式，由A点在双曲线上，消元整理得到,ab的关系，进一步求得双曲线的离心率.【详解】设00,Axy，则00,Bxy，因为1tantan4，即14MAMBkk，由(,0)Ma，所以2000220000014yyyxaxaxa，因为2200221xyab，所以2220220aaybx，即2220222014bxaaxa，得2214ba，所以12ba，即12ba，又222cab，所以22214caa，即2254ca，所以52cea，故双曲线的离心率为52e．故选：D.2.已知A，B，P是双曲线22221xyab（0a，0b）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为（）A．52B．62C．2D．213【答案】D【分析】设11,Axy，22,Pxy，根据对称性，知11,Bxy，然后表示出PAPBkk，又由于点A，P在双曲【淘宝店铺：向阳百分百】线上，所以将其坐标代入方程中，两式相减，结合前面的式子可得2243PAPBbkka，化简可求出离心率【详解】设11,Axy，22,Pxy，根据对称性，知11,Bxy，所以2221212122212121PAPByyyyyykkxxxxxx．因为点A，P在双曲线上，所以22112222222211xyabxyab，两式相减，得2222212122xxyyab，所以2222122221yybaxx所以2243PAPBbkka，所以222273abea，所以213e．故选：D3.已知双曲线2221(0)4xybb的左、右焦点分别为1F、2F，过左焦点1F作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为14，则双曲线的离心率是（）A．62B．2C．32D．2【答案】A【分析】设1122(,),(,)AxyBxy，(,)Pmn，利用点差法，结合直线的斜率公式可求出2b，从而可求出c，进而可求出离心率【详解】1122(,),(,)AxyBxy，(,)Pmn，则2211214xyb，2222214xyb，两式相减得12121212211()()()()04xxxxyyyyb，所以212121212()()()()4yyyybxxxx，因为P是AB的中点，所以122xxm，122yyn，因为直线OP的斜率为14，所以14nm=，因为过左焦点1F作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，所以12122AByykxx，所以21212224yynbxxm，21244b，得22b，所以22426cab，所以离心率为62cea==故选：A考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为b【精选例题】【例1】若双曲线22221xyab的焦点2,0F到其渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（）A．3yxB．3yxC．13yxD．33yx【答案】B【分析】由题可得3b，1a，即得.【详解】双曲线222210,0xyabab的焦点,0c到渐近线：byxa，即0bxay的距离为：【淘宝店铺：向阳百分百】22bcbcdcab3b，而2c，从而1a，故渐近线byxa即3yx.故选：B.【例2】已知F是双曲线C：223(0)xmymm的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A．3B．3C．3mD．3m【答案】A【解析】双曲线方程为22133xym，焦点F到一条渐近线的距离为3b，故选A．【跟踪训练】1.已知