专题04 数列及求和（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】专题4数列及其应用01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析·解密高考03高频考点·以考定法（五大命题方向+五道高考预测试题，高考必考10-15分）命题点1等差数列及性质命题点2等比数列及性质命题点3等差等比数列综合命题点4数列情景题命题点5数列求和高考猜题04创新好题·分层训练（精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升）一、一般数列性质：单调性：递增数列：𝑎𝑛+1𝑎𝑛；递减数列：𝑎𝑛+1𝑎𝑛；常数列：𝑎𝑛+1=𝑎𝑛；最大项11nnnnaaaa.二、等差数列及性质1．定义式：𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=𝑑（递推公式）2．等差中项：若𝑎，𝑏，𝑐成等差数列，则2𝑏=𝑎+𝑐∀相邻三项，2𝑎𝑛=𝑎𝑛+1+𝑎𝑛−13．通项公式：𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑（累加法）从函数角度理解：𝑎𝑛=𝐴𝑛+𝐵，其中𝐴=𝑑，𝐵=𝑎1−𝑑推广：𝑎𝑛=𝑎𝑚+(𝑛−𝑚)𝑑4．{𝑎𝑛}为等差数列，𝑆𝑛为其前𝑛项和性质1：若𝑚+𝑛=𝑠+𝑡，则𝑎𝑚+𝑎𝑛=𝑎𝑠+𝑎𝑡特殊的，若𝑚+𝑛=2𝑡，则𝑎𝑚+𝑎𝑛=2𝑎𝑡性质2：𝑎𝑚，𝑎𝑚+𝑘，𝑎𝑚+2𝑘，𝑎𝑚+3𝑘，⋯仍成等差数列.【淘宝店铺：向阳百分百】性质3：𝑆𝑚，𝑆2𝑚−𝑆𝑚，𝑆3𝑚−𝑆2𝑚，⋯仍成等差数列.5．前𝑛项和：𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=𝑛𝑎1+𝑛(𝑛+1)2𝑑（倒序相加法）从函数角度理解：𝑆𝑛=𝐴𝑛2+𝐵𝑛，其中𝐴=𝑑2，𝐵=𝑎1+𝑑26．单调性：𝑑0，单调递增；𝑑0，单调递减；𝑑=0，常函数7．𝑆𝑛最值问题：法一：𝑆𝑛最值问题可由𝑆𝑛=𝐴𝑛2+𝐵𝑛二次函数求最值的角度考虑.法二：若𝑎10,𝑑0，𝑆𝑛的最小值为𝑆1，𝑆𝑛无最大值；若𝑎10,𝑑0，𝑆𝑛的最大值为项的正负分界处（𝑎𝑛≥0成立的最大的𝑛），𝑆𝑛无最小值；若𝑎10,𝑑0，𝑆𝑛的最大值为𝑆1，𝑆𝑛无最小值；若𝑎10,𝑑0，𝑆𝑛的最小值为项的正负分界处（𝑎𝑛≤0成立的最大的𝑛），𝑆𝑛无最大值.法三：解不等式组𝑆𝑛≥𝑆𝑛−1，𝑆𝑛≥𝑆𝑛+1（𝑛≥2，𝑛∈𝑁∗），即可求得𝑆𝑛最大值；解不等式组𝑆𝑛≤𝑆𝑛−1，𝑆𝑛≤𝑆𝑛+1（𝑛≥2，𝑛∈𝑁∗），即可求得𝑆𝑛最小值.8．判断等差数列的方法：﹡定义法﹡等差中项法﹡通项公式法﹡前𝑛项和公式法三、等比数列及性质：1．定义式：𝑎𝑛+1÷𝑎𝑛=𝑑（递推公式）2．等比中项：若𝑎，𝑏，𝑐成等比数列，则𝑏2=𝑎𝑐∀相邻三项，𝑎𝑛2=𝑎𝑛+1𝑎𝑛−13．通项公式：𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛−1（累乘法）推广：𝑎𝑛=𝑎𝑚𝑞𝑛−𝑚4．{𝑎𝑛}为等比数列，𝑆𝑛为其前𝑛项和性质1：若𝑚+𝑛=𝑠+𝑡，则𝑎𝑚𝑎𝑛=𝑎𝑠𝑎𝑡特殊的，若𝑚+𝑛=2𝑡，则𝑎𝑚𝑎𝑛=𝑎𝑡2性质2：𝑎𝑚，𝑎𝑚+𝑘，𝑎𝑚+2𝑘，𝑎𝑚+3𝑘，⋯仍成等比数列.性质3：𝑆𝑚，𝑆2𝑚−𝑆𝑚，𝑆3𝑚−𝑆2𝑚，⋯仍成等比数列.5．前𝑛项和：𝑆𝑛=𝑎1(1−𝑞𝑛)1−𝑞=𝑎1−𝑎𝑛𝑞1−𝑞（𝑞≠1）（错位相减法）𝑆𝑛=𝑛𝑎1（𝑞=1）6．单调性：若𝑎10,𝑞1，单调递增；若𝑎10,0𝑞1，单调递减；若𝑎10,𝑞1，单调递减；若𝑎10,0𝑞1，单调递增；若𝑞=1，常数列；若𝑞0，摆动数列.四、数列综合问题：1．求通项公式：（1）猜想-----证明法根据条件猜想通项公式，再验证或证明其符合题意.（2）𝑎𝑛与𝑆𝑛关系法：由𝑎𝑛={𝑆1,𝑛=1𝑆𝑛−𝑆𝑛−1,𝑛≥2，可根据𝑆𝑛求通项公式.【淘宝店铺：向阳百分百】（3）累加法：𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=𝑓(𝑛)（4）累乘法：𝑎𝑛+1÷𝑎𝑛=𝑓(𝑛)（5）构造法：1※构造等比数列※形如：𝑎𝑛+1−2𝑎𝑛=3待定系数法𝑎𝑛+1+𝑡=2(𝑎𝑛+𝑡)得𝑡=3即𝑎𝑛+1+3=2(𝑎𝑛+3)2※构造等比数列※形如：𝑎𝑛+1−2𝑎𝑛=𝑛−1待定系数法𝑎𝑛+1+(𝑛+1)=2(𝑎𝑛+𝑛)3※构造等差数列※形如：𝑎𝑛+1−2𝑎𝑛=2𝑛+1等式两边同时除以2𝑛+1，即得𝑎𝑛+12𝑛+1−𝑎𝑛2𝑛=14※构造等比数列※形如：𝑎𝑛+1−3𝑎𝑛=2𝑛+1等式两边同时除以2𝑛+1，得到𝑎𝑛+12𝑛+1−32×𝑎𝑛2𝑛=1，即转化为1※5※构造等差数列※形如：𝑎𝑛−𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛𝑎𝑛+1等式两边同时除以𝑎𝑛𝑎𝑛+1，得到1𝑎𝑛+1−1𝑎𝑛=26※构造等比数列※形如：𝑎𝑛+1=e𝑎𝑛2等式两边同时取对数，得ln𝑎𝑛+1=2ln𝑎𝑛+1，即转化为1※2．数列求和方法：（1）公式求和法﹡等差、等比数列直接用公式求和∑𝑛𝑛𝑖=1=1+2+3+⋯+𝑛=𝑛(𝑛+1)2∑𝑛2𝑛𝑖=1=12+22+32+⋯+𝑛2=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6（2）倒序相加法距首位两端等距的两项和相等（3）错位相减法差比数列：形如𝑎𝑛=𝑏𝑛∙𝑐𝑛，其中{𝑏𝑛}为等差数列，{𝑐𝑛}为等比数列.（4）裂项相消法形如𝑎𝑛=1𝑏𝑛𝑏𝑛+1，其中{𝑏𝑛}为等差数列，设公差为𝑑𝑎𝑛=1𝑏𝑛𝑏𝑛+1=1𝑑(1𝑏𝑛−1𝑏𝑛+1)形如𝑎𝑛=1√𝑛+1+√𝑛，可用分母有理化进行裂项（5）分组求和法通项公式有若干个等差数列、等比数列或可求和的数列组成，可分别求和后再相加.如：𝑎𝑛=1𝑛(𝑛+1)+2𝑛+2𝑛（6）并项求和法形如𝑎𝑛=(−1)𝑛𝑓(𝑛)，可两两结合求和的数列.【淘宝店铺：向阳百分百】数列是高考中必考点，一般以1+1或者是2+1形式出现，主要考查等差等比数列及其性质应用真题多维细目表考点考向考题等差等比数列应用①等差数列性质②等比数列及性质③等差等比数列综合④数列情景题⑤数列求和2023新全国Ⅰ卷T7全国乙T10全国甲T52022全国乙卷T132021全国甲卷T18全国ⅡT172023新高考Ⅱ卷85全国乙卷T15全国甲卷T13T52022全国乙卷T10T82021Q全国甲卷T72023全国乙卷T102022全国甲卷T18新高考ⅡT172021全国乙卷T192022新高考Ⅱ卷T3全国乙卷T42020新高考Ⅱ卷T42023新高考ⅠT20新高考ⅡT18乙卷T18甲卷T172022新高考ⅠT172021全国乙卷T19甲卷T9T18新高考ⅠT17新高考ⅡT17【淘宝店铺：向阳百分百】命题点1等差数列及其性质典例01（2023·全国乙卷）已知等差数列na的公差为23，集合*cosNnSan，若,Sab，则ab（）A．－1B．12C．0D．12【答案】B【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{}na中，112π2π2π(1)()333naanna，显然函数12π2πcos[()]33yna的周期为3，而Nn，即cosna最多3个不同取值，又{cos|N}{,}nanab，则在123cos,cos,cosaaa中，123coscoscosaaa或123coscoscosaaa，于是有2πcoscos()3，即有2π()2π,Z3kk，解得ππ,Z3kk，所以Zk，2ππ4πππ1cos(π)cos[(π)]cos(π)cosπcosπcos333332abkkkkk.故选：B典例02（2023·全国·统考甲卷）记nS为等差数列na的前n项和．若264810,45aaaa，则5S（）A．25B．22C．20D．15【答案】C【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列na的公差和首项，再根据前n项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列na的公差，再根据前n项和公式的性质即可解出．【详解】方法一：设等差数列na的公差为d，首项为1a，依题意可得，2611510aaadad，即135ad,【淘宝店铺：向阳百分百】又48113745aaadad，解得：11,2da，所以515455210202Sad．故选：C.方法二：264210aaa，4845aa，所以45a，89a，从而84184aad，于是34514aad，所以53520Sa．故选：C.命题点2等比数列及性质典例01（2023·全国·统考高考Ⅱ卷）记nS为等比数列na的前n项和，若45S，6221SS，则8S（）．A．120B．85C．85D．120【答案】C【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据48,SS的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列na的公比为q，首项为1a，若1q，则405S，与题意不符，所以1q；若1q，则611263230SaaS，与题意不符，所以1q；由45S，6221SS可得，41151aqq，6211112111aqaqqq①，由①可得，24121qq，解得：24q，所以8S8411411151168511aqaqqqq．故选：C．方法二：设等比数列na的公比为q，因为45S，6221SS，所以1q，否则40S，从而，2426486,,,SSSSSSS成等比数列，所以有，22225215SSS，解得：21S或254S，【淘宝店铺：向阳百分百】当21S时，2426486,,,SSSSSSS，即为81,4,16,21S，易知，82164S，即885S；当254S时，2241234122110SaaaaaaqqS，与45S矛盾，舍去．故选：C．【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握48,SS的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．典例02（2023·全国·统考高考乙卷）已知na为等比数列，24536aaaaa，9108aa，则7a.【答案】2【分析】根据等比数列公式对24536aaaaa化简得11aq，联立9108aa求出52q，最后得55712aaqqq.【详解】设na的公比为0qq，则3252456aqaaqaaaa，显然0na，则24aq，即321aqq，则11aq，因为9108aa，则89118aqaq，则3315582qq，则52q，则55712aaqqq，故答案为：2.命题点3等差等比数列综合典例01（2022·全国·统考高考甲卷）记nS为数列na的前n项和．已知221nnSnan．(1)证明：na是等差数列；(2)若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)78．【分析】（1）依题意可得222nnSnnan，根据11,1,2nnn