专题2.1 函数及其表示（原卷版）

2.1函数及其表示思维导图知识点总结(1)集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,函数的值域C不是集合B,而是C⊆B.(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[-2,0].2.函数的表示法表示函数的常用方法有、和.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.与x轴垂直的直线与一个函数的图象至多有一个公共点.典型例题分析考向一函数的定义域典例一1.函数f(x)=+ln(2x-x2)的定义域为(B)A.(2,+∞)B.(1,2)C.(0,2)D.[1,2]2.已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是(B)A.(-12,0)B.(-12,0]C.(,+∞)D.(-∞,]3.已知函数f(x)=(1-x+(2x-1)0,则f(x)的定义域为.解题分析与总结(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成,则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集.(2)求抽象函数的定义域①若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式ag(x)b即可求出y=f(g(x))的定义域;②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域.注意:1.求函数定义域时,对函数解析式先不要化简.2.求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.考向二求函数的解析式典例二1.已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,则f(x)=.2.已知在定义域内单调递增的一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+6,则f(x)的解析式为.解题分析与总结1.已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式,常用换元法或配凑法或两种方法并用,换元法更具有一般性,在使用时一定要注意新元的取值范围.2.换元法的一般方法是:令t=g(x),从中求出x=(t),然后代入表达式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值范围.考向三分段函数及其应用微考点1分段函数求值已知f(x)=则f[f()]+f(-)的值等于.解题分析与总结求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值.(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.微考点2分段函数与方程已知函数f(x)=若f(a)=2,则实数a=()A.-1或2B.2或4C.-2或4D.-1或4解题分析与总结根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时,应根据分段函数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.微考点3分段函数与不等式函数f(x)=则满足f(x)+f(x-)1的x的取值范围是.解题分析与总结求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.微考点4分段函数的值域设函数f(x)=若F(x)=f(x)+x,x∈R,则F(x)的值域为()A.(-∞,1]B.[2,+∞)C.(-∞,1]∪[2,+∞)D.(-∞,1)∪(2,+∞)解题分析与总结分段函数的值域是各段函数值域的并集.基础题型训练一、单选题1．下列各组函数中，是相等函数的是（）A．55fxx与2gxxB．221fxxx与221ttgttZC．242xfxx与2gxxD．0fxx与01gxx2．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．1fxx与2xxgxxB．xfxxx与00ttgttt，，C．1fx，0gxxD．2fxx，2gxx3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C．D．4．函数223yxxx的值域为（）．A．1,B．2,C．3,D．12,5．若函数122,1()log(1),1xxfxxx在(,]a上的最大值为4，则a的取值范围为（）A．[1,)B．(,1]C．[1,15]D．[0,15]6．下列各函数中，表示相等函数的是（）A．lgyx与21lg2yxB．211xyx与1yxC．21yx与1yxD．yx与logxaya(0a且1a)二、多选题7．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2yx=，1,2x与函数2yx=，2,1x就是“同族函数”.下列可用来构造同族函数的有（）A．2020yxB．12yxC．2yxx=-D．22020xyx8．下列函数中，表示同一个函数的是（）A．(5)(5)5xxyx与5yxB．||yx与,0,0xxyxxC．2yx=与4()yxD．2yx=与4yx三、填空题9．已知2,31aa为一个确定的区间，则a的取值范围是________.10．值域：与x的值____的y的值的集合|fxxA.11．x表示不超过x的最大整数，如2.32，1.32，33，若221xfxx，则13gxfxfxfx的值域为___________.12．函数21fx的定义域为21，，则1fx的定义域为________.四、解答题13．设函数221,203,03xxfxxx(1)求函数的定义域；(2)求1,0,2fff.14．（1）已知函数121gxx，求gx的解析式；（2）已知fx为二次函数，且03f，310ff，求fx的解析式.15．已知函数221xfxx.（1）求122ff，133ff的值；（2）求证1fxfx是定值；（3）求：111112320202320192020ffffffff的值.16．已知函数24,02,012,0xxfxxxx.（1）求21faaR的值；（2）当43x时，求fx的值域.提升题型训练一、单选题1．已知21(12)fxx，则12f的值为（）A．4B．14C．16D．1162．函数2yxx的最大值是A．-1B．1C．-2D．23．二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则反比例函数ayx与一次函数ybxc在同一坐标系下中的大致图象是（）A．B．C．D．4．定义：若函数fx的图象经过变换T后所得的图象对应的函数与fx的值域相同，则称变换T是fx的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：①2()(1),:fxxT将函数fx的图象关于y轴对称；②1()21,:xfxT将函数fx的图象关于x轴对称；③(),:1xfxTx将函数fx的图象关于点1,1对称.④()sin,:3fxxT将函数fx的图象关于点(1,0)对称.其中T是fx的同值变换的有（）A．①②B．①③④C．①④②D．①③5．定义区间,ab，,ab，,ab，,ab的长度均为dba，用x表示不超过x的最大整数，例如2.72，0.91，记xxx，设fxxx，1gxx，若用d表示不等式fxgx解集区间的长度，则当0,3x时有（）A．1dB．2dC．3dD．4d6．函数()fx=21,01,0xxfxx，若方程()fxxa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是A．（－，1）B．（－，1]C．（0，1）D．[0，+）二、多选题7．具有性质：1ffxx的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是（）A．1yxxB．1ln1xyxC．1exxyD．,01,0,1,1,1xxfxxxx8．设函数()fx的定义域为R，满足()2(2)fxfx，且当[2,0)x时，()2(2)fxxx．若对任意[,)xm，都有8()9fx，则m的值可以是（）．A．23B．1C．43D．2三、填空题9．设函数22(2)2(2)xxfxxx＜，则(1)f__________．10．函数42yx在区间3,6上的值域是______.11．定义min{,}ab,,aabbab，若()min1,3fxxx，则使不等式(2)(2)fxfx成立的x的取值范围是____12．函数21()43fxaxax的定义域为(,)，则实数a的取值范围是___________.四、解答题13．若函数132fxxx.（1）求3f、21fa；（2）求函数fx的定义域.14．给定函数222fxx，3gxx，xR.(1)在所给坐标系（1）中画出函数fx，gx的大致图象；（不需列表，直接画出.）(2)xR，用mx表示fx，gx中的较小者，记为min,mxfxgx，请分别用解析法和图象法表示函数mx.（mx的图象画在坐标系（2）中）(3)直接写出函数mx的值域.15．已知函数126fxxx的定义域为集合A，集合18Bxx，21Cxaxa.(1)求集合A和ABRð；(2)若ACA，求实数a的取值范围.16．设()fx是定义在(,0)(0,)上的函数，满足()()()fxyfxfy，当1x时，()0fx．（1）求(1)f的值，试证明()fx是偶函数．（2）证明()fx在(0,)上单调递减．（3）若(3)1f，()(8)2fxfx，求x的取值范围．