专题10.3 二项式定理及其应用（原卷版）

10.3二项式定理及其应用思维导图知识点总结1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝________________________________________(n∈N*)；(2)通项：Tk＋1＝__________，它表示第________________项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，Cnn.2．二项式系数的性质(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数_____.这一性质可直接由Cmn＝Cn－mn得到．直线r＝n2将函数ƒ(r)＝Crn的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．(2)增减性与最大值因为Ckn＝nn－1…n－k＋2n－k＋1k－1！k＝Ck－1nn－k＋1k，即CknCk－1n＝n－k＋1k，所以，当n－k＋1k1，即kn＋12时，Ckn随k的增加而增大；由对称性知，当kn＋12时，Ckn随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项_____取得最大值；当n是奇数时，中间的两项__________与_____相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数和(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝_____；(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝_____；(3)C1n＋C3n＋C5n＋…＝_____.1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．3．(1＋x)n＝C0n＋C1nx＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn.典型例题分析考向一求展开式中的特定项或特定项系数【例1】(1)(2022·上海奉贤区二模)已知x＋124xn的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n的值为()A．7B．8C．9D．10(2)(2022·新高考Ⅰ卷)1－yx(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．【变式】(2019·浙江高考)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________.1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项公式得所求．2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．考向二二项展开式中系数的和【例2】若二项式x2－2xn的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为()A．－1B．1C．27D．－27赋值法的应用(1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1.(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1.(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)－g(－1)]．【变式】(多选)若(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2022x2022(x∈R)，则()A．a0＝1B．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝32021＋12C．a0＋a2＋a4＋…＋a2022＝32022＋12D.a12＋a222＋a323＋…＋a202222022＝－1考向三二项式系数的最值问题【例3】二项式3x＋13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A．3B．5C．6D．7求二项式系数最大的项(1)如果n是偶数，那么中间一项第n2＋1项的二项式系数最大．(2)如果n是奇数，那么中间两项第n＋12项与第n＋12＋1项的二项式系数相等并最大．【变式】设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8考向四项的系数的最值问题【例4】(1)若(1＋2x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()A.112，15B．16，15C.112，23D．16，25【变式1】(2021·上海高考)已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为________.求展开式中系数最大的项如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak－1，Ak≥Ak＋1，从而解出k来．【变式2】已知(3x＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在2x－1x2n的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________.考向五二项式定理的应用【例5】设a∈Z，且0≤a13，若512022＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12【变式】0.9910的第一位小数为n1，第二位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为()A．9,0,4B．9,4,0C．9,2,0D．9,0,2二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.【变式】9.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1B．1C．－87D．87基础题型训练一、单选题1．设29229012291111xaaxaxax，0,1,2,,29iai是常数，则1229aaa的值是（）A．2912B．2921C．1D．02．12nxnN的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则n为（）A．10B．11C．12D．133．(21)(2)(3)(4)(5)xxxxx的展开式中，含4x项的系数是（）A．28B．28C．29D．294．234111xxx的展开式中，含2x项的系数是（）A．1B．3C．6D．105．如果7270127(12)xaaxaxax，那么017aaa的值等于A．－1B．－2C．0D．26．若32nxx展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是（）A．5B．6C．7D．8二、多选题7．1nx展开式中二项式系数最大的是5Cn，则n可以是（）A．8B．9C．10D．118．已知二项式*1,Nnmxmnx展开式的第5项为15，则（）A．A360mnB．4844ACAnmnmC．1nmxx展开式的系数的最大值为20D．1nmxx展开式的各项系数之和为64三、填空题9．二项展开式52345012345(12)xaaxaxaxaxax，则4a；123aaa．10．在4511xx展开式中，含有2x项的系数为．11．已知3xay的展开式中含2xy项的系数为6，则实数a的值为.12．已知52xax的展开式中含3x项的系数为60，则a.四、解答题13．已知1(2)nxx的展开式前两项的二项式系数的和为10.(1)求n的值.(2)这个展开式中是否有常数项?若有,将它求出,若没有,请说明理由.14．已知31nab展开式中第4项与第2项系数比为15：1，求展开式中的倒数第3项．15．在822xx的展开式中（1）求二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项是第几项?16．已知二项式3312nxx的展开式中，前三项系数成等差数列.（1）求正整数n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项.提升题型训练一、单选题1．已知5xa展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x项系数为（）A．10B．32C．40D．802．已知421(1)xaxx的展开式中常数项系数为4，则a（）A．4B．1C．12D．13．在82x的二项展开式中，二项式系数的最大值为a，含5x项的系数为b，则ab（）A．532B．532C．325D．3254．23(+1)(2)xxx的展开式中，含5x项的系数为A．-6B．-12C．-18D．185．712xx的展开式中5x的系数为（）A．448B．448C．672D．6726．已知122120121212xaaxaxax，则2412aaa（）A．12332B．12332C．12312D．12312二、多选题7．已知4，n，9成递增等比数列，则在2(4)nxx的展开式中，下列说法正确的是（）A．二项式系数之和为64B．各项系数之和为1C．展开式中二项式系数最大的项是第4项D．展开式中第5项为常数项8．已知8280128(2)xaaxaxax，则（）A．802aB．1281aaaC．812383aaaaD．31792a三、填空题9．23(2)(1)axx展开式中2x的系数为24，则a=.10．二项式912xx的展开式中的常数项为.11．若88128012812111xxaaxaxax对任意xR恒成立，则4a.12．若102100121013xaaxaxax()，则12310aaaa＝．四、解答题13．已知二项式12nxx的展开式中，所有项的二项式系数之和为512．(1)求n的值：(2)求展开式中的常数项．14．设100210001210023xaaxaxax，求下列各式的值：(1)0a；(2)13599aaaa；(3)220241001399aaaaaaa.15．（1）求82xy的二项展开式；（2）求1213xx的二项展开式中的常数项；（3）求92xx的二项展开式中3x的系数；（4）在2021x的二项展开式中，如果第4r项和第2r项的系数的绝对值相等，求此展开式的第4r项．16．已知12nx展开式中的1n项按x的升幂排列依次为1()fx、2()fx、3()fx、L、nfx、1nfx.（1）若2(2)8f，求n的值；（2）记2(2)(1,2,,1)kkkafknL，求和1121nnnSaaaa.