专题2.4 指数与指数函数（原卷版）

2.4指数与指数函数思维导图知识点总结知识点一无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a0，α为无理数)是一个确定的．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．知识点二实数指数幂的运算性质1．aras＝ar＋s(a0，r，s∈R)．2．(ar)s＝ars(a0，r，s∈R)．3．(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈R)．知识点三分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：mna＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)负分数指数幂规定：1mnmnaa＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义知识点四有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．知识点四指数函数的定义一般地，函数(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.思考为什么底数应满足a0且a≠1?答案①当a≤0时，ax可能无意义；②当a0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a0，且a≠1.知识点五两类指数模型1．y＝kax(k0)，当时为指数增长型函数模型．2．y＝kax(k0)，当时为指数衰减型函数模型．知识点六指数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质如下表：a10a1图象定义域R值域性质过定点过定点，即x＝0时，y＝函数值的变化当x0时，；当x0时，当x0时，；当x0时，单调性在R上是在R上是典型例题分析考向一运用指数幂运算公式化简求值例1计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)10.52332770.0272;1259(2)222212;2(3)333035361.aaaa反思感悟一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．考向二分数指数幂运算的综合应用例2(1)已知am＝4，an＝3，求am－2n的值；(2)已知1122aa＝3，求下列各式的值．①a＋a－1；②a2＋a－2；③3322.aa反思感悟条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．考向三指数函数的图象及应用例1(1)函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象可能是()(2)函数f(x)＝1＋ax－2(a0，且a≠1)恒过定点________．(3)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝13x＋1＋2的图象？并画出相应图象．反思感悟处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．考向四比较大小例4(1)比较下列各题中两个值的大小．①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,0.83.1.(2)设331442111,,,252abc则a，b，c的大小关系为________．(用“”连接)反思感悟比较幂值大小的3种类型及处理方法基础题型训练一、单选题1．化简111113216842(12)(12)(12)(12)(12)的结果为（）A．1321(12)2B．11321(12)2C．1132(12)D．122．函数31,12,1xxxfxx…，则方程2fxffx的解集是（）A．2,3B．2,3C．2,13D．1,3．已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为A．t≤–1B．t–1C．t≤–3D．t≥–34．已知lnx，13ye，13logz，则A．xyzB．zxyC．zyxD．yzx5．已知函数，则使得21fxfx成立的的取值范围是A．1,13B．1,1,3C．1,13D．11,33，6．设函数1()1,()22xfxxgxt，若存在,0,2mn，使得()()fmgn成立，则实数t的取值范围是（）A．13,82B．13,88C．13,28D．13,22二、多选题7．已知函数24312axxfx，则下列叙述正确的是（）A．当1a时，函数在区间2,上是增函数B．当1a时，函数在区间2,上是减函数C．若函数fx有最大值2，则1aD．若函数fx在区间,2上是增函数，则a的取值范围是0,18．已知函数ee2xxfx，则（）A．22fxyfx为偶函数B．2yfxfx是增函数C．sin1yfx不是周期函数D．1yfxfx的最小值为1三、填空题9．若12,xx为方程11122xx的两个实数解，则12xx___________．10．若指数函数(1)xym在R上是增函数，则实数m的取值范围是__________．11．已知函数xya，byx，logcyx的图象如下图所示，则a，b，c的大小关系为__________．（用“”号连接）12．化简326(0)xxxxx的结果是________.四、解答题13．计算：(1)122230983(2.5)4272；(2)已知11223xx，求1xx.14．计算：(1)1002(4)12(15)221；(2)2log32.5log6.25lg0.001ln2e15．已知二次函数2()21(0)gxaxaxba在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，(1)求函数()gx的解析式；(2)设()()gxfxx．若(2)20xxfk在[1,1]x时恒成立，求k的取值范围．16．已知函数yfx的表达式为224fxxaxb，其中a、b为实数.(1)若不等式0fx的解集是2,6，求ba的值；(2)若方程0fx有一个根为2，且a、b为正数，求11ab的最小值；(3)若函数22xxfy在区间,1上是严格减函数，试确定实数b的取值范围，并证明你的结论.提升题型训练一、单选题1．函数2(55)xymmm是指数函数，则有A．1m或4mB．1mC．4mD．0m或1m2．已知函数24,18,1xxaxxfxax，且对于任意的12,xx，都有1212120fxfxxxxx，则实数a的取值范围是（）A．1,2B．1,3C．1,D．1,23．定义在R上的函数fx满足20,0,2fxfxx时，31xfx，则2015f的值为A．-2B．0C．2D．84．已知函数12xfx可以表示成一个偶函数gx和一个奇函数hx之差，若21hxagx对xR恒成立，则实数a的取值范围为（）.A．1,3B．1,C．1,2D．1,45．已知函数1112xfxa（0a，且1a），则fx是（）A．偶函数，值域为10,2B．非奇非偶函数，值域为11,22C．奇函数，值域为11,22D．奇函数，值域为10,26．已知a、b、c是正实数，且2e2ee0aabbc，则a、b、c的大小关系不可能为（）A．abcB．abcC．bcaD．bac二、多选题7．下列函数在区间0,1上单调递增的是（）A．21yxB．11yxC．11yxD．2xy8．若函数fx同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有0fxfx；②对于定义域上的任意12,xx，当12xx时，恒有12120fxfxxx，则称函数fx为“理想函数”.下列四个函数中：能被称为“理想函数”的有（）A．1fxxB．3fxxC．22,0,0xxfxxxD．1e()1exxfx三、填空题9．函数1232xxfx的定义域为_________.10．已知函数11,02,03xxxfxax的值域为R，则实数a的取值范围是___________.11．已知集合,,2,3,4abc，且下列三个关系：3,3,4abc有且只有一个正确，则函数22,,xxbfxxcaxb的值域是_______．12．已知函数1()1e1xfx，若不等式2()12xfaxfx对(1,2)x恒成立，则实数a的取值范围是_______．四、解答题13．计算：31122011272(3.14)4108．14．已知函数2fxx，12xgxm，若对任意1,2x，都有fxgx，求实数m的取值范围15．一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22．（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？16．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f（-1）=0，且满足在区间（-∞，0]单调递增．(1)判断f(x)在（0，+∞）的单调性，并加以证明；(2)函数()44(22)2xxxxgxm．若()0fgx对x∈（0，1]恒成立，求实数m的取值范围．