专题2.5 对数与对数函数（原卷版）

2.5对数与对数函数思维导图知识点总结知识点一对数运算性质如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：(1)loga(M·N)＝；(2)logaMN＝；(3)logaMn＝(n∈R)．知识点二换底公式1．logab＝logcblogca(a0，且a≠1；c0，且c≠1；b0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)logaN＝1logNa(N0，且N≠1；a0，且a≠1)；(2)lognmab＝mnlogab(a0，且a≠1，b0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a0，b0，c0，d0，且a≠1，b≠1，c≠1)．知识点三对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是．知识点对数函数的图象和性质对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象和性质如下表：y＝logax(a0，且a≠1)底数a10a1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈；x∈[1，＋∞)时，y∈x∈(0,1)时，y∈；x∈[1，＋∞)时，y∈对称性函数y＝logax与y＝1logax的图象关于x轴对称典型例题分析考向一对数运算性质的应用例1计算下列各式：(1)log53625；(2)log2(32×42)；(3)log535－2log573＋log57－log595.反思感悟对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．考向二对数换底公式的应用例2(1)计算：(log43＋log83)log32＝________.(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)反思感悟利用换底公式化简与求值的思路考向三对数函数的概念及应用例3(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a0，且a≠1)；③(31)log;yx④y＝log3x2；⑤y＝logx3(x0，且x≠1)；⑥2πlog.yx其中是对数函数的为()A．③④⑤B．②④⑥C．①③⑤⑥D．③⑥(2)已知对数函数的图象过点M(8,3)，则f12＝________.反思感悟判断一个函数是否为对数函数的方法对数函数必须是形如y＝logax(a0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)对数式系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.考向四对数函数的图象问题例4(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是下图中的()反思感悟现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．考向五反函数例5函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝201910x(x0)．求函数g(x)的解析式，定义域、值域．反思感悟互为反函数的常用结论(1)同底的指数函数、对数函数互为反函数．(2)若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．考向六解对数不等式例6解下列关于x的不等式：(1)7171log(4)og;lxx(2)loga(2x－5)loga(x－1)．反思感悟对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况进行讨论．(2)形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．(3)形如logf(x)alogg(x)a(f(x)，g(x)0且不等于1，a0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．基础题型训练一、单选题1．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg4.81.5EM.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为12,EE，则1E和2E的关系为（）A．1232EEB．1264EEC．121000EED．121024EE2．已知1a，函数xya与log()ayx的图像只可能是（）A．B．C．D．3．已知213311ln323abc，，，则abc，，的大小关系为()A．abcB．acbC．cabD．cba4．设151log3a，21log3b，则（）A．0ababB．0ababC．0ababD．0abab5．已知函数22ln1fxxx，若不等式241faxfx恒成立，则实数a的取值范围为（）A．22,B．4,4C．,44,D．,22,U6．已知函数21ln11fxxx，若实数a满足20.5loglog21fafaf，则a的取值范围是（）A．1,2B．0,0.5C．0.5,2D．0,2二、多选题7．已知0,0ab，且2ab，则（）A．24abB．22112abC．lglg0abD．24bab8．已知函数lg1lg3fxxx，则（）A．fx在1,3单调递增B．fx在1,2单调递增，在2,3单调递减C．fx的图象关于直线2x对称D．函数fx的最小值为0三、填空题9．若log42a，则a=__________.10．函数()ln(5125)xfx的定义域为________.11．已知函数2log7,222,2axxfxxaxax（0a且1a），若对1x，212[1,)xxx，都有12120fxfxxx．则实数a的取值范围是___________．12．已知01t，设311,ln,3tabtct，则,,abc的大小关系为（用“”号连接）______．四、解答题13．已知函数log3log1,01aafxxxa.(1)若函数fx的最小值为4，求实数a的值；(2)若函数fxgxa，用定义证明函数2gxhxxx在0,3上单调递减.14．已知0,1,0,0aaMN，用对数的定义证明公式：logloglogaaaMMNN．15．已知，a=220322724238，331log9log27b，求22019lg2019ab的值．16．设131()log1axfxx为奇函数，a为常数．（1）求a的值．（2）若[2,4]x，不等式1()3xfxxm恒成立，求实数m的取值范围．提升题型训练一、单选题1．已知函数log31ayx(0a且1)a，则函数恒过定点（）A．1,0B．2,0C．0,1D．2,12．已知函数12log,03,0xxxfxx，则4ff的值为（）A．19B．19C．9D．93．已知,,abc满足312346,log4,,5abc则（）A．abcB．bcaC．cabD．cba4．已知1log2a1，那么a的取值范围是()A．0a12B．a12C．12a1D．0a12或a15．已知lgae，0.32b，2log3c，则下列不等式正确的是（）A． cbaB． abcC．acbD．cab6．若4log3a，5log4b，0.032c，则,,abc的大小关系为（）A．cbaB．acbC．bacD．abc二、多选题7．下列命题是真命题的是（）A．若幂函数()afxx=过点1,42，则12B．(0,1)x，121log2xxC．(0,)x，1123loglogxxD．命题“xR，sincos1xx”的否定是“xR，sincos1xx”8．下列函数中，值域是0,的是（）A．12xyB．21yxC．ln1yxD．yx三、填空题9．已知三个式子1()13a，131a，1log13a同时成立，则a的取值范围为________．10．21log3381272______．11．方程的解为___________.12．已知函数2()ln(1)22xxfxx，则使不等式(1)(2)fxfx成立的x的取值范围是_______________四、解答题13．求下列各式的值：（1）1142333316(5)(0.008)(22)449；（2）241log32327log2lg5(lg2)lg5lg23．14．已知函数eeeexxxxfx.(1)判断函数fx的奇偶性，并进行证明；(2)若实数a满足2122loglog10fafaf，求实数a的取值范围.15．（1）将根式化为分式指数幂的形式733338315312aaaaaa；（2）若2552loglogloglog1xy（）（），求yx的值.16．对于在区间[,]mn上有意义的函数f(x)，若满足对任意的12,[,]xxmn，有12|()()|1fxfx恒成立，则称f(x)在[,]mn上是“友好”的，否则就称f（x）在[,]mn上是“不友好”的.现有函数31()logaxfxx(1)当a=1时，判断函数f(x)在[1,2]上是否“友好”；(2)若函数f(x)在区间[,1]mm(1≤m≤2)上是“友好”的，求实数a的取值范围(3)若关于x的方程3()1log[(3)24]fxaxa的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围.