专题4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式（原卷版）

4.2同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式思维导图知识点总结1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα余弦cosα正切tanα口诀奇变偶不变，符号看象限[常用结论]1.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.典型例题分析考向一同角三角函数基本关系式的应用例1(1)已知cosα＝－513，则13sinα＋5tanα＝________.(2)已知tanαtanα－1＝－1，则sinα－3cosαsinα＋cosα＝________；sin2α＋sinαcosα＋2＝________.(3)(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，则下列结论正确的是()A.sinθ＝45B.cosθ＝－35C.tanθ＝－34D.sinθ－cosθ＝75感悟提升同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可实现角α的弦切互化.(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断角的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.考向二诱导公式的应用例2(1)(2023·长沙调研)已知sinπ3＋2α＝23，则cosπ6－2α＝()A.53B.－23C.23D.±53(2)设f(α)＝2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.感悟提升1.诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数―――――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数―――――――――――→利用诱导公式一0～2π内的角的三角函数――――――――――→利用诱导公式二或四或五或六锐角三角函数.2.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.考向三同角关系式和诱导公式的综合应用例3已知f(α)＝sin（α－3π）cos（2π－α）sin－α＋3π2cos（－π－α）sin（－π－α）.(1)化简f(α)；(2)若α＝－31π3，求f(α)的值；(3)若cos－α－π2＝15，α∈π，3π2，求f(α)的值.感悟提升1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数符号的影响.基础题型训练一、单选题1．下列等式恒成立的是（）A．cos()cosB．sin360sinC．tan(2)tan()D．cos()cos()2．下列命题中，命题正确的是（）A．终边相同的角一定相等B．第一象限的角是锐角C．若2Zkk，则角的三角函数值等于角的同名三角函数值D．半径为R，n的圆心角所对的弧长为Rn3．已知tan2，则sincos（）A．25B．52C．52D．254．sin120的值为（）A．32B．32C．12D．125．已知10角的终边交单位圆于点A，将A绕原点O顺时针旋转110至B，则B的坐标为（）A．sin10,cos10B．cos10,sin10C．sin10,cos10D．cos10,sin106．如果1sincos5xx，且0πx，那么tanx的值是()A．43B．43或34C．34D．43或34二、多选题7．πcos4（）A．5πsin4B．πsin4C．3πcos4D．7πcos48．（多选）若，的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是（）A．sinsinB．coscosC．coscosD．sinsin三、填空题9．已知3cos22，且||2，则tan_________.10．已知34sin225，，，则tan___________.11．已知3sin()cos()24sin()cos(9)，则tan_________.12．已知函数()yfx是定义在R上的奇函数，对xR都有(1)(1)fxfx成立，当(0,1]x且12xx时，有2121()()0fxfxxx．给出下列命题：（1）(1)0f（2）()fx在[-2，2]上有5个零点（3）点（2014，0）是函数()yfx的一个对称中心（4）直线2014x是函数()yfx图像的一条对称轴．则正确的是________．四、解答题13．设2222sin(19)()cos[(21)]sin(3)()cos(19)xfxkxxkZx，求3f.14．已知函数2cos2sin3fxxx，求54f的值.15．已知10,sincos25xxx，求下列各式的值．（1）sincosxx；（2）221cossinxx．16．（1）已知1tan7203221tan360，求2221cos(π)sin(π)cos(π)2sin(π)cos(2π)的值；（2）已知2tan(π)a，|cos(π)|cos，求1cos(π)的值.提升题型训练一、单选题1．已知s5π3sin42，则3πsin4的值为（）A．12B．－12C．32D．－322．sin675的值是（）A．22B．12C．22D．123．若sin2xcos2x，则x的取值范围是（）A．{x|2kπ－34x2kπ＋34，k∈Z}B．{x|2kπ＋4xkπ＋54，k∈Z}C．{x|kπ－4xkπ＋4，k∈Z}D．{x|kπ＋4xkπ＋34，k∈Z}4．化简：sin(2)cos()sin2cos()cos()tan()（）A．sinB．1cosC．1sinD．cos5．在ABC中的角满足71cos25，则tan（）A．612B．265C．612D．2656．已知是第三象限角，若4tan3，则sin（）A．35B．35-C．45D．45二、多选题7．设为第一象限角,π1cos83,则（）A．5π1sin83B．7π1cos83C．13π22sin83D．πtan2288．在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点1P（cos，sin），2ππ(cos,sin)33P，3ππ(cos,sin)66P则下列说法正确的是（）A．线段2OP与3OP的长均为1B．线段23PP的长为1C．若点1P，2P关于y轴对称，则ππ3kkZD．当13π12时，点1P，3P关于x轴对称三、填空题9．4255sincostan346__________.10．若,则22sin2sincos3cos____________11．已知7sincos13，π(,0)2，则tan___________．12．在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，cos2cosaBbA，3cos3A，22a，则ABC的面积是________.四、解答题13．确定下列三角函数值的符号：(1)sin186；(2)tan505；(3)sin7.6；(4)23tan()4；(5)cos940；(6)59cos17.14．已知tan2，求下列各式的值(1)3sin2cossincos；(2)2221sincos34．15．已知函数yfx的表达式为20.50.50.51logsin12logsinlogsin2fxxx，对于任何实数x，fx都有意义，求sin的范围并判断所在的象限．16．(1)已知tan是关于x的方程2210xx的一个实根，且α是第三象限角，求223sinsincos2cos的值；(2)已知1sincos5，且ππ2，求11sincos()的值.