专题8.7 向量法求距离、探索性及折叠问题（原卷版）

8.7向量法求距离、探索性及折叠问题知识点总结1.点到平面的距离若P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝.2.点到直线的距离如图(1)，点P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d＝.如图(2)，设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d＝.3.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.典型例题分析考向一点到直线的距离例1如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为________.考向二点到平面的距离例2在棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为()A.24aB.28aC.324aD.22a感悟提升1.点线距的求解步骤：直线的单位方向向量a→所求点到直线上一点的向量PP′→及其在直线的方向向量a上的投影向量→代入公式.2.点面距的求解步骤：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.考向三探索性问题例3(2023·厦门质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B是菱形，AB⊥AC，平面AA1B1B⊥平面ABC，平面A1B1C1与平面AB1C的交线为l.(1)证明：A1B⊥B1C.(2)已知∠ABB1＝60°，AB＝AC＝2，l上是否存在点P，使A1B与平面ABP所成角为30°？若存在，求B1P的长度；若不存在，请说明理由.感悟提升1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.训练2如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由.考向四折叠问题例4(1)(2023·济南调研)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点P的位置，连接PB，PB＝3.(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；(2)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值.(2)(2023·苏北四市质检)已知一圆形纸片的圆心为O，直径AB＝2，圆周上有C，D两点.如图，OC⊥AB，∠AOD＝π6，点P是BD︵上的动点.沿AB将纸片折为直二面角，并连接PO，PD，PC，CD.(1)当AB∥平面PCD时，求PD的长；(2)当三棱锥P－COD的体积最大时，求二面角O-PD-C的余弦值.感悟提升翻折问题中的解题关键是要结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.基础题型训练一、单选题1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知3,4,1P，且平面OAB的法向量为2,2,3n，则P到平面OAB的距离等于（）A．23B．4C．17D．322．空间中有三点1,2,2P，2,3,1M，3,2,2N，则点P到直线MN的距离为（）A．22B．23C．3D．253．已知空间三点2,1,1,1,0,2,0,3,1ABC，则C到直线AB的距离为（）A．5B．22C．6D．194．已知空间三点3,2,0A，3,2,2B，3,0,1C，则C到直线AB的距离为（）A．1B．2C．3D．55．在空间直角坐标系oxyz中，平面OAB的法向量为2,2,1n，已知1,3,1P，则P到平面OAB的距离等于（）A．4B．2C．3D．16．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，E、F分别为上底面1111DCBA和侧面11CDDC的中心，则点D到平面AEF的距离为（）A．21111B．1111C．114D．41111二、多选题7．如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，122AAAB，O为四边形11DCCD对角线的交点，下列结论正确的是（）A．点O到侧棱的距离相等B．正四棱柱外接球的体积为6πC．若1114DEDD，则1AE平面1AODD．点B到平面1AOD的距离为238．[多选题]下列命题中正确的是（）．A．可以用2ABABAB求空间两点A，B的距离B．设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，点A在平面内，则点B到的距离为ABndnC．若直线l与平面平行，直线l上任意一点与平面内任意一点的距离就是直线l与平面的距离D．若平面与平面平行，则平面内任意一点到平面的距离就是平面与平面之间的距离三、填空题9．已知点(0,1,2)A在平面内，(1,3,2)n为平面的一个法向量，则点(5,7,3)D到平面的距离为___________.10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，MNE、、分别是11ABCDAB、、的中点，则直线EC到平面AMN的距离为_______．11．一个正方体的平面展开图如图所示，AB=1，则在原来的正方体中，线段CF的中点到直线AM的距离为________.12．P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，若已知3AB，4AD，1PA，则点P到BD的距离为__．四、解答题13．如图，AB是圆柱1OO的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且5ABBC，3CD.(1)求直线AC与平面ABD所成角的大小；(2)求点B到平面ACD的距离.14．如图在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，点E是AD的中点，求：(1)异面直线1DE和1AB所成的角的余弦值(2)点1A到平面11BBDD的距离15．在平行四边形ABCD中，ABBD，1BA，5BC，55PA，且PA平面ABCD，求点P到直线BC的距离．16．如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA平面ABC，11π,1,2BACAAABACCC的中点为H．(1)求证：1ABAC；(2)求直线1BB与平面1ABC所成角的正弦值；(3)求点H到平面1ABC的距离．提升题型训练一、单选题1．已知直线l的方向向量为,1,2mx，平面的法向量为1,2,4n，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（）A．12B．10C．12D．102．棱长为1的正四面体ABCD中，则ADBC等于（）A．0B．12C．14D．143．在空间中，已知动点P（x，y，z）满足z＝0，则动点P的轨迹是A．平面B．直线C．不是平面，也不是直线D．以上都不对4．四棱锥PABCD中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)ABADAP，则这个四棱锥的高为（）A．55B．15C．25D．2555．如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB，BC，BB1两两垂直且长度相等，点P在线段A1C1上运动，异面直线BP与B1C所成的角为θ，则θ的取值范围是A．32B．02C．32D．036．已知正四棱锥SABCD侧面和底面的棱长都为2，P为棱BC上的一个动点，则点P到平面SAD的距离是（）A．13B．14C．23D．263二、多选题7．有下列四个命题，其中正确的命题有（）A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则0.ABBCCDDAB．若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则//ABCD.C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量.D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OPxOAyOBzOCuuuruuruuuruuur(x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面.8．已知正方体1111ABCDABCD，则下列结论中正确的有（）A．13DBABB．1DB平面1ACDC．线段1DB被平面1ACD分成两段，其长线段与短线段长度比为3:1D．正方体1111ABCDABCD被平面1ACD分割为大小两个几何体的体积比为5:1三、填空题9．在空间直角坐标系中，点0,1,1A和点1,0,1B间的距离是__________．10．已知直线l的一个方向向量为(1,2,0)d，平面的一个法向量为(,3,6)nm，且//l，则m________．11．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为__________．12．如图，锐二面角l的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知4AB，6ACBD，210CD，则锐二面角l的平面角的余弦值是___________.四、解答题13．在空间四边形ABCD中，连接,ACBD，设M，G分别是,BCCD的中点，化简下列各向量表达式：(1)ABBCAD；(2)1()2ADABAC.14．如图，正方形11ABBA的边长为2，11,ABAB的中点分别为C，1C，正方形11ABBA沿着1CC折起形成三棱柱111ABCABC-，三棱柱111ABCABC-中，1,ACBCADAA.（1）证明:当12时，求证：1DC平面BCD；（2）当14时，求二面角1DBCC的余弦值.15．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB，M是PD中点．（1）求直线AD与平面ACM的夹角余弦值；（2）求平面ACD和平面ACM的夹角的余弦值.16．如图，正四棱锥PABCD的底面面积为4，一条侧棱长为5.(1)求PA和DC的所成角的余弦值；(2)求侧棱PA和侧面PBC所成角的正弦值.