1.2 逻辑用语与充分必要条件（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1.2逻辑用语与充分必要条件（精讲）一．充分条件、必要条件与充要条件的概念充分、必要条件：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)集合关系若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件A⊆Bp是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pABÜp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pBAÜp是q的充要条件p⇔qA=Bp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏pA⊈B且A⊉B二．．全称量词和存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”∀存在量词“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”∃三．全称量词命题和存在量词命题命题名称定义命题结构命题简记全称量词命题含有全称量词的命题对M中任意一个x，p(x)成立∀x∈M，p(x)存在量词命题含有存在量词的命题存在M中的元素x，p(x)成立∃x∈M，p(x)资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1.判断充分、必要条件的3种方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.(3)数形结合法:充要条件的判定问题中,若给出的条件与结论之间有明显的几何意义,且可以作出满足条件的几何图形,则可作出其几何图形后利用数形结合思想求解.2.根据充分、必要条件求解参数范围的方法(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.3.充分、必要条件的探求方法(1)若与范围有关，可先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．(2)若与范围无关，则利用定义法从充分性和必要性两个方面推理探求．(3)探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．4.全称量词与存在量词命题真假的判断(1)要确定一个全称量词命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称量词命题是假命题;(2)要确定一个存在量词命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该存在量词命题是假命题.考法一充分、必要条件的判断【例1-1】（2023·天津河北·统考一模）设xR，则“2x”是“24x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当2x时24x，故充分性成立，由24x可得2x或2x，故必要性不成立，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以“2x”是“24x”的充分不必要条件.故选：A【例1-2】（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）在ABC中，“π6A”是“1sin2A”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】在ABC中，0,πA，由1sin2A，可得π5π66A，所以“π6A”是“1sin2A”的必要不充分条件.故选：B.【例1-3】（2023·广东佛山·统考二模）记数列na的前n项和为nS，则“323Sa”是“na为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】等差数列na的前n项和为nS，则312323Saaaa，数列na的前n项和为nS，取12341,2,3,5aaaa，显然有323Sa，而43322aaaa，即数列na不是等差数列，所以“323Sa”是“na为等差数列”的必要不充分条件.故选：B【一隅三反】1．（2023·重庆·统考二模）“20xx”是“e0x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由20xx可得其解集为：01xxx，由e0x可得其解集为：xR.而01xxÜR，即由“20xx”可以推出“e0x”，反过来“e0x”不能推出“20xx”，故“20xx”是“e0x”的充分不必要条件.故选：A2．（2023·天津·天津市宁河区芦台第一中学校联考模拟预测）设xR，则“1x”是“ln0x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B【解析】当1x时，若0x，则lnx无意义，充分性不成立；当ln0x时，01x，1x成立，必要性成立；综上所述：xR，则“1x”是“ln0x”的必要不充分条件.故选：B.3．（2023·山西太原·太原五中校考一模）2sin2sincos0是“tan2的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为2sin2sincos0，所以sinsin2cos0，sin2cos0或sin0，所以tan2或tan0，故“2sin2sincos0是“tan2”的必要不充分条件.故选：C.4．（2023·北京延庆·统考一模）若Rm，则“1m”是“复数2(1i)(i1)zmm是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】222(1i)(i1)izmmmmmm，当1m时，复数2iz，是纯虚数；复数2(1i)(i1)zmm是纯虚数时，有2200mmmm，解得1m.则“1m”是“复数2(1i)(i1)zmm是纯虚数”的充分必要条件.故选：C考法二充分、必要条件的探索【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）“不等式20xxm在R上恒成立”的必要不充分条件是（）A．m0B．m14C．m1D．m14【答案】A【解析】因为“不等式20xxm在R上恒成立”，所以等价于二次方程的20xxm判别式140m，即14m.易知D选项是充要条件，不成立；A选项中，14m可推导0m，且0m不可推导14m，故0m是14m的必要不充分条件，正确；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B选项中，14m不可推导出14m，B不成立；C选项中，14m不可推导1m，C不成立.故选：A.【例2-2】．（2023·全国·高三专题练习）（多选）函数23fxxmx在区间1,2不单调的充分不必要条件是（）A．24mB．1mC．22mD．44m【答案】BC【解析】23fxxmx在区间1,2上不单调，又fx的图象是开口向上，对称轴为12xm的抛物线，原命题的充要条件为1122m，即24m，原命题的一个充分不必要条件只有B、C选项满足，故选：BC．【一隅三反】1．（2023·云南）函数2lg23fxxx在,a上单调递增的一个充分不必要条件是（）A．0aB．1aC．3aD．4a【答案】D【解析】设223gxxx，可得函数gx在,1单调递减，在1,单调递增，又由函数2lg23yxx，满足2230xx，解得1x或3x，根据复合函数的单调性，可得函数fx的单调递增区间为3,.2lg23fxxx在,a上单调递增3a.所以对照四个选项，可以得到一个充分不必要条件是：4a.故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）圆221xy与直线3ykx有公共点的充要条件是（）A．22k或22kB．22kC．2kD．22k或2k【答案】A【解析】若直线与圆有公共点，则圆心0,0到直线30kxy的距离2|3|11dk，即213k，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴219k，即28k，∴22k或22k，∴圆221xy与直线3ykx有公共点的充要条件是22k或22k．故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）命题“23R,208xkxkx”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．30，B．30，C．31，D．3，【答案】AC【解析】因为23R,208xkxkx为真命题，所以0k或2030kkk30k，所以30，是命题“23R,208xkxkx”为真命题充分不必要条件，A对，所以30，是命题“23R,208xkxkx”为真命题充要条件，B错，所以31，是命题“23R,208xkxkx”为真命题充分不必要条件，C对，所以3，是命题“23R,208xkxkx”为真命题必要不充分条件，D错，故选：AC考法三充分、必要条件的求参【例3-1】（2023·湖南邵阳·统考二模）已知集合2,5A，1,21Bmm．若“xB”是“xA”的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．,3B．2,3C．D．2,3【答案】B【解析】若“xB”是“xA”的充分不必要条件，则BA，所以12112215mmmm，解得23m，即m的取值范围是2,3.故选：B.【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）设命题:0ln2ln3px，命题:2230qxmxm．若q是资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______．【答案】312m【解析】由:0ln2ln3px，得123x，即35x；由:2230qxmxm，得223mxm，因为q是p的必要不充分条件，所以5}|3{xx是{|223}xmxm的真子集，所以23235mm且两个等号不同时取，解得312m.故答案为：312m【一隅三反】1．（2023·福建福州·高三福州三中校考阶段练习）设431px：；210qxa：（），若p是q的充分不必要条件，则（）A．0aB．1aC．0aD．1a【答案】A【解析】由已知可得:1,:21pxqxa，因为p是q的充分不必要条件，所以211a，所以0a，故选：A．2．（2023·安徽）若“12x”是“不等式2()1xa成立”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．1,2B．1,2C．1,2D．1,2【答案】C【解析】由2()1xa得11axa，12xQ是不等式2()1xa成立的充分不必要条件，满足1112aa，且等号不能同时取得，即21aa，解得12a，故选：C．3．（2023·全国·高三对口高考）已知集合2|320,|0,02xaAxxxBxax，若“xA”是“xB”的充分非必要条件，则a的取值范围是（）A．01aB．2aC．12aD．1a资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A【解析】由题意可得：|12Axx，|2Bxx或xa，若“xA”是“xB”的充分非必要条件，则A是B的真子集，所以01a.故选：A.考法四含量词命题的否定【例4-1】（2023·四川达州·统考二模）命题p：xR，2210xxx，则p为（）A．xR，2210xxxB．xR，2210xxxC．