10.2 平面向量的数量积（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10.2平面向量的数量积（精讲）一．向量的夹角1.定义：已知两个非零向量ar和br，O是平面上的任意一点，作OA→＝ar，OB→＝br，则∠AOB＝θ叫做向量ar与br的夹角．2.范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角二．向量的数量积已知两个非零向量ar与br，它们的夹角为θ，把数量|ar|·|br|·cosθ叫做向量ar与br的数量积(或内积)，记作ar·br，即ar·br＝|ar||br|cosθ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．三．投影向量如图，在平面内任取一点O，作𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝ar，𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝br，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则𝑂𝑀1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗就是向量a在向量b上的投影向量，记为𝑂𝑀1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝abbbbrrrrr资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】四．向量数量积的运算律ar·br＝br·ar.(λar)·br＝λ(ar·br)＝ar·(λbr)．(ar＋br)·cr＝ar·cr＋br·cr．五．平面向量数量积的有关结论已知非零向量ar＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ结论几何表示坐标表示模|ar|＝aarr|ar|＝x21＋y21夹角cosθ＝ababrrrrcosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件ar·br＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|ar·br|≤|ar||br||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22一．求非零向量ar，br的数量积的3种方法方法适用范围定义法已知或可求两个向量的模和夹角基底法直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解坐标法①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积二．求平面向量模的2种方法资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】公式法利用|ar|＝aarr及(ar±br)2＝|ar|2±2ar·br＋|br|2，把向量模的运算转化为数量积运算几何法利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解三．求平面向量夹角的2种方法定义法当ar，br是非坐标形式，求ar与br的夹角θ时，需求出ar·br及|ar|，|br|或得出它们之间的关系，由cosθ＝ababrrrr求得坐标法若已知ar＝(x1，y1)与br＝(x2，y2)，〈ar，br〉∈[0，π]则cos〈ar，br〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22考点一平面向量的数量积运算【例1-1】（2023·江西景德镇·统考三模）若向量2,1a与向量1,3b的夹角为，则cos（）A．210B．210C．22D．22【答案】B【解析】因为2,1a，1,3b，所以21131ab，222+15a，221+3=10b，1522cos5010510abab.故选：B.【例1-2】．（2022秋·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）已知向量a，b的夹角为π4，且32a，2b，则abrr（）A．10B．10C．14D．14【答案】B【解析】22222222cos182322π44102abaabbaabbrrrrrrrrrr，故10ab.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B【一隅三反】1．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若向量7,1AM，1,3MN，则AMAN（）A．4B．38C．40D．46【答案】D【解析】因为7,11,36,4ANAMMN，所以761442446AMAN．故选：D2．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）平面向量1a，22b，(2)aba，则a与b的夹角是（）A．π4B．π3C．2π3D．3π4【答案】D【解析】设a与b的夹角为，则22(2)22cos0abaaabaab，即222cosθ0+=，解得2cos2，因为0,π，所以3π4.故选：D3．（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知2,1ab，12ab，则ab的值为（）．A．3B．3C．2D．2【答案】A【解析】由2,1ab得，25ab.224523ababab，∴3ab．故选：A.4．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）设向量3,1,1,3ab，则向量3ab与b的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【答案】D【解析】因为3,1,1,3ab，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以33,131,30,4ab-，3014343abb，所以433cos3,422abb，又3,0,πabb，所以5π3,6abb.故选：D.考点二平面向量数量积的应用【例2-1】（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知向量1,3a，3,3abm，且a在b方向上的投影数量是22，则m.【答案】2【解析】因为1,3a，3,3abm，所以2,bm，因为a在b方向上的投影数量是22，所以22abb，即223224mm，显然230m，即23m，整理得212280mm，解得2m或14m（舍去），所以2m.故答案为：2【例2-2】（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知点1,2,2,4,2,6ABC，则AB在AC上的投影向量为（）A．()1,2-B．3,4C．34,55D．525,55【答案】C【解析】由题意，1,2AB，3,4AC，则5ABAC，5AB，5ACuuur，5cos,5ACBABACABAAC×狁==×，则AB在AC上的投影向量为5(3,4)34cos,5,5555ACABABACAC骣-琪狁=创=-琪琪桫.故选：C【例2-3】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知向量a，b满足2abab，则向量a在向量b上的投影向量为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．12bB．12bC．2bD．2b【答案】B【解析】22222122442abababababababb，所以向量a在向量b上的投影向量为212abbababbabbb，故选：B【例2-4】（2023·上海嘉定·校考三模）已知6,8a，b与a垂直，5b，且b与1,0c的夹角是钝角，则b在c方向上的投影为.【答案】4,0【解析】设,bxy，因为6,8a，b与a垂直，所以6(8)0xy，即34xy，又5b，所以225xy，即2225xy，解得43xy或43xy，因为b与1,0c的夹角是钝角，所以0bcx，所以4,3b，则b在c方向上的投影为4,0bcccc.故答案为：4,0.【例2-5】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知向量2,0a，1,3b，则a与ab的夹角为.【答案】π3【解析】由向量2,0a，1,3b，得(1,3)ab，则||2a，22||1(3)2ab，()2aab，因此()21cos,222||||aabaabaab，而,(0,π)aab，所以3,πaab.故答案为：π3资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】1．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知向量1,3a，2,bm，且a在b方向上的投影是22，则m.【答案】2【解析】依题意，223==224abmbm（其中2230,3mm），解得=2m.故答案为：22．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知1,2,3,4,2,2,3,5ABCD，则AB在CD上的投影为.【答案】2105/2105【解析】因为1,2,3,4,2,2,3,5ABCD，所以2,2AB，1,3CD，所以222222AB，1910CD，264ABCD，设向量AB与CD的夹角为，45cos5|||2210ABCDABCD，那么AB在CD上的投影为5210cos2255AB|故答案为：2105.3．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）若向量1,ak，2,1b，且22abab，则ab与b的夹角为.【答案】π4【解析】将22abab两边平方可得0ab，又20abk，解得2k；所以3,1ab，又2,1b，则ab与b的夹角的余弦值为2232152cos21053121，则ab与b的夹角为π4.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：π44．（2023春·江苏无锡）（多选）下列选项中正确的是（）A．设向量1,1ax，1,3bx，若a，b共线，则2xB．已知点(0,0)O，向量1,34,0OAOB，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是2,2,3,0C．若1,2a，4,1b，则a在b方向上的投影向量的坐标为82,1717D．若平面向量a，b满足22ba，则2ab的最大值是5【答案】ACD【解析】对于A，由,ab共线，则13110xx，解得2x，故A正确；对于B，由向量1,3OA，4,0OB，则3,3AB，设,Pxy，则1,3APxyuuur，由P是线段AB的三等分点，则13APAB或23APABuuuruuur，可得11331333xy或21332333xy，解得2,2或3,1，故B错误；对于C，设a与b的夹角为，a在b方向上的投影向量2214212cos4117babbabbbbbrrrrrrrrrr，其坐标为82,1717，故C正确；对于D，222244abaabb，设a与b的夹角为，由22ba，则222228cos16178cosabaaarrrrr，当cos1时，2ab取得最大值为5，故D正确.故选：ACD.考点三平面向量的综合运用【例3-1】（2023秋·江苏南通·高三校考开学考试）（多选）在ABC中，753ABACBC，，，点D在线资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】段AB上，下列结论正确的是（）A．150ACBB．若CD是中线，则192CDC．若CD是角平分线，则158CDD．若3CD，则D是线段AB的三等分点【答案】BC【解析】对于A，在ABC中，7AB，5AC，3BC，由余弦定理得2222223571cos22352abcCab，又(0,π)C，2π3C，故A错误；对于B：若CD是中线，1()2CDCACB，即21119[259253()]424CD，192CD，故B正确；对于C：若CD是角平分线，则ACDBCDABCSSS，即1π1π12π5sin3sin53sin23