10.3 平面向量的应用（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10.3平面向量的应用（精练）1．（2023春·陕西西安）已知ABC中，0BABCAC，3ABACABAC，则此三角形为（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】如下图所示：设M为AC中点，则20BABCACBMAC，所以BMAC，即ABC为等腰三角形，又3ABACABAC，所以23ABACABAC，即22222cos,3ABACABACABACABACABAC，所以1cos,2ABAC，可得60A，综上可知三角形为等边三角形.故选：B.2．（2023春·福建厦门）P是边长为2的正方形ABCD边界或内部一点，且PBPCPM，则APAM的最大值是（）A．2B．4C．5D．6【答案】C【解析】以B为坐标原点，以BC方向为x轴正方向，以BA方向为y轴正方向建立坐标系，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则02002022ABCD,,,,,,,，设(,)Pxy，02x，20y，则(,2)APxy，因为PBPCPM，则(2,2)AMAPPMAPPBPCxy，则22(2)(2)(2)5(1)APAMxxyyxy，故当1x，0y时APAM取得最大值为5．另解：令2PBPCPMPE，则E为BC中点，E为PM中点，则1,0E，所以2222254APAMAPAMAPAMAEPEAE，当P为BC中点时取等．故选：C3．（2023春·北京石景山）如图，A，B是半径为1的圆O上的两点，且π.3AOB若C是圆O上的任意一点，则·OABC的最大值为（）A．32B．14C．12D．1【答案】C【解析】因为····OABCOAOCOBOAOCOAOB，11··cos1122OAOBOAOBAOB，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】··coscosOAOCOAOCAOCAOC，所以1·cos2OABCAOC即当cosAOC取最大值时，·OABC取得最大值．当OA与OC同向时，cosAOC取得最大值为1，此时，·OABC取得最大值12．故选：C．4．（2023秋·云南大理）设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且222bcbca，若角A的内角平分线2AD，则BAAC的最小值为（）A．8B．4C．16D．12【答案】A【解析】因为222bcbca，所以2221cos22bcaAbc，所以2π3A，由ABCABDACDSSS，所以12π1π1πsinsinsin232323bcbADcAD，化简得到22bcbc，所以2()4bcbcbc，则16bc，当且仅当4bc时，等号成立，所以π1cos832BAACBAACbc，则BAAC的最小值为8.故选：A．5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在扇形COD及扇形AOB中，2π3COD，33OCOA，动点P在CD（含端点），则PAPB的最小值是（）A．112B．6C．132D．7资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则131,0,,22AB.设3cos,3sinP，2π0,3，则3cos1,3sinPA,133cos,3sin,22PB则1317π3cos13cos3sin3sin3sin2226PAPB，其中ππ5π,666.所以17π17113sin32622PAPB，当且仅当π3时，取“=”，故选:A.6．（2022春·甘肃白银）如图，点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点，12OAOB，若OCxOAyOB，则52xy的最大值为（）A．11B．13C．15D．4【答案】B【解析】1OAOB，1coscos2OAOBOAOBAOBAOB，2π3AOB；以O为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则()1,0A，13,22B，设cos,sinC，2π0,3，由OCxOAyOB得：1cos23sin2xyy，3cossin323sin3xy，5353cossinsin23sincos13sin233xy，其中3tan6，π0,2，2π0,3，π0,2，当π2时，max5132xy.故选：B.7．（2023·北京）已知平面向量OA，OB满足2OAOB，2OAOB，点D满足 2DAOD，E为AOB的外心，则OBED的值为（）A．163B．83C．83D．163【答案】B【解析】由题意，2OAOB，∵2ccos2os2OAOBOAOB，解得：1cos2，∴两向量夹角2π3，∵2DAOD，以O为坐标原点,OA,垂直于OA所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则0,0,2,0,1,3OAB,设,0Dx,由2DAOD,知,022,0xx,资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得23x,∴2,03D又E为AOB的外心，∴1π,,23AOEAOBOEEAπ3AOEEAOOEA，∴AOE△为等边三角形,∴1,3E，∴1,33ED,∴83OBED.故选：B.8．（2023春·四川成都）（多选）给出下列命题，其中正确的选项有（）A．已知(2,4)A，(1,1)B，则3,3ABB．若非零向量,ab满足||||abab，则abC．若G是ABC的重心，则点G满足条件0GAGBGCD．若ABC是等边三角形，则π,3ABBC【答案】BC【解析】对于选项A，已知(2,4)A，(1,1)B，则3,3AB，故选项A错误；对于选项B，已知非零向量,ab满足||||abab，则222222aabbaabb，所以0ab，则ab，故选项B正确；对于选项C，已知G是ABC的重心，设D为BC的中点，则2GAGDGBGC，则0GAGBGC，故选项C正确；对于选项D，已知ABC是等边三角形，则2π,3ABBC，故选项D错误.故选项：BC.9．（2022春·黑龙江大庆）（多选）下列说法正确的是（）A．若点G是ABC的重心，则13AGABAC资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．已知1,2a，,1bxx，若2baa∥，则=1xC．已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若21AMxABxAC，则12xD．已知平面向量a，b，满足3aab，且2a，1b，则向量a与b夹角的正弦值为32【答案】AD【解析】对于A：设D为BC边的中点，由向量的中线公式可得12ADABAC.因为点G是ABC的重心，则22113323AGADABACABAC.故A正确；对于B：因为1,2a，,1bxx，所以22,5baxx.因为2baa∥，所以2215xx，解得：13x.故B错误；对于C：因为A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，且21AMxABxAC，所以211xx，解得:23x.故C错误；对于D：因为平面向量a，b，满足3aab，且2a，1b，所以23aab，即2221cos,3ab，解得：1cos,2ab.又因为,0,ab，所以3sin,2ab.即向量a与b夹角的正弦值为32.故D正确.故选：AD10．（2023·广西）已知向量1,3a，4,1b，若向量ma∥，且m与b的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为.【答案】1,3m（答案不唯一）【解析】设,mxy，因为向量ma，且m与b的夹角为钝角，所以134(1)04(1)yxxyyx，所以0x，不妨令=1x，则=3y，故1,3m，故答案为：1,3m（答案不唯一）.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11．（2023·上海·高三专题练习）已知非零平面向量ab，不平行，且满足24aba，记3144cab，则当b与c的夹角最大时，ab的值为【答案】4【解析】建立如下图所示的平面直角坐标系，设2,0a，,0bxyy，设点2,0A、,Bxy，令aOA，bOB，则24abxrr，得2x，设OCc，则3112,444OCcaby，则点C的坐标为12,4y，则直线,OBOC的斜率分别为28yy，，由两直线的夹角公式可得：tantantantan1tantanxOBxOCBOCxOBxOCxOBxOC33328848122822yyyyyyyy，当且仅当82yy，即4y时取等号，此时2,4B，则(0,4)ab，所以4ab.故答案为：4.12．（2023春·湖南永州）一个人骑自行车由A地出发向东骑行了6km到达B地，由B地向南东30方向骑行了6km到达C地，从C地向北偏东60骑行了23km到达D地，则A，D两地的距离是km．【答案】239【解析】A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则(0,0),(6,0)AB，(66sin30,6cos30)C，即(9,33)C，(923sin60,3323cos60)D，即(12,23)D，所以(12,23)AD，故2212(23)239AD.所以A，D两地距离为239km.故答案为：239.13．（2023春·上海奉贤）已知ABC是边长为1的等边三角形，点O是ABC所在平面上的任意一点，则向量OAOCOBOC的模为.【答案】3【解析】因为ABC是边长为1的等边三角形，所以60BCA，1CACB，所以OAOCOBOC=CACB，所以OAOCOBOCCACB2CACB22||||2||||cos60CACBCACB11121132.故答案为：314．（2023·河南开封·统考模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形AOB，其中120AOB，2OC，5OA，点E在CD上，则EAEB的最小值是．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】372【解析】如下图，2()()()EAEBEOOAEOOBEOEOOAOBOAOB，若F为AB中点，且120AOBo，则OAOBOF，则211725522EAEBEOOFEOOF，要使其最小，只需,EOOF共线，此时，由图知此时17173725cos18010222EAEB.故答案为：372.1．（2023春·江西萍乡）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22BCACAB，则bc的取