4.3 利用导数求极值与最值（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.3利用导数求极值与最值（精讲）一．函数的极值1.定义满足条件极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值极值与极值点极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点2.求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③确定f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．二．函数的最值1.一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．函数的最值必在极值点或区间端点处取得．2.求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．一．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．二．根据函数极值求参数1.列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．2.验证：求解后验证根的合理性．注意：对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．三．导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤1.求函数f(x)的导数f′(x)；2.求f(x)在给定区间上的单调性和极值；3.求f(x)在给定区间上的端点值；4.将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值．四．恒成立问题向最值转化的方法1.要使不等式f(x)h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最大值f(x)max，只要hf(x)max，则不等式f(x)h恒成立；2.要使不等式f(x)h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)minh，则不等式f(x)h恒成立．考法一利用导数求函数的极值或极值点【例1-1】（2023春·新疆）函数3()32fxxx有（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．极小值0，极大值2B．极小值1，极大值4C．极小值1，极大值3D．极小值0，极大值4【答案】D【解析】2()333(1)(1)fxxxx，令()0fx，则1x，当1x时，()0fx，()fx在(,1)内单调递减，当11x时，()0fx，()fx在(1,1)内单调递增，当1x时，()0fx，()fx在(1,)内单调递减，所以当=1x时，函数3()32fxxx有极小值(1)0f，当1x时，函数3()32fxxx有极大值(1)4f.故选：D.【例1-2】（2023春·湖北武汉）设函数fx在R上可导，其导函数为fx，且函数gxxfx的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．fx有三个极值点B．2f为函数的极大值C．fx有一个极大值D．1f为fx的极小值【答案】C【解析】()()gxxfx，并结合其图象，可得到如下情况，当2x时，()0,()0gxfx，fx在(,2)单调递减；当20x时，()0,()0gxfx，fx在(2,0)单调递增；当01x时，()0,()0gxfx，fx在(0,1)单调递增；当1x时，()0,()0gxfx，fx在1,单调递减；∴fx在2x取得极小值，在1x处取得极大值，只有两个极值点，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故A、B、D错，C正确；故选:C.【一隅三反】1．（2023春·湖南）已知函数32()fxxmxn的图象与x轴相切于点(1,0)，则fx的（）A．极小值0，极大值12B．极小值12，极大值0C．极小值0，极大值12D．极小值12，极大值0【答案】C【解析】由函数32()fxxmxn，可得2()32fxxmx，因为函数fx的图形与x轴相切与点(1,0)，可得(1)320(1)10fmfmn，解得31,22mn，即3231()22fxxx且2()333(1)fxxxxx，当0x时，()0fx，fx单调递增；当01x时，()0fx，fx单调递减；当1x时，()0fx，fx单调递增，所以当0x，函数fx取得极大值，极大值为1(0)2f，当1x，函数fx取得极小值，极小值为(1)0f.故选：C.2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间,ab上的函数fx的导函数为fx，fx的图象如图所示，则（）A．fx在4,xb上有增也有减B．fx有2个极小值点资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．45fxfxD．fx有1个极大值点【答案】D【解析】由图可得，当2,xax，4,xb时，0fx，当24,xxx时，0fx.所以fx的单调递增区间为2,ax，4,xb，单调递减区间为24,xx，所以fx有1个极大值点，1个极小值点.故A、B错误，而4545,xxbfxfx，C错误.故选：D3．（2023春·天津武清）已知函数fx的导函数fx的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A．fx在区间1,1上单调递增B．fx在区间2,0上单调递增C．1为fx的极小值点D．2为fx的极大值点【答案】D【解析】对于A，当1,0x时，0fx；当0,1x时，()0fx¢；()fx\在1,0上单调递减，在0,1上单调递增，A错误；对于B，当2,0x时，0fx，()fx\在2,0上单调递减，B错误；对于C，fx在2,0上单调递减，1x不是fx的极小值点，C错误；对于D，当0,2x时，()0fx¢；当2,3x时，0fx；()fx\在0,2上单调递增，在2,3上单调递减，2x是fx的极大值点，D正确.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D.考法二已知极值（点）求参数【例2-1】（2023春·吉林）已知函数32()fxxmxn的图象与x轴相切于点(1,0)，则fx的（）A．极小值0，极大值12B．极小值12，极大值0C．极小值0，极大值12D．极小值12，极大值0【答案】C【解析】由函数32()fxxmxn，可得2()32fxxmx，因为函数fx的图形与x轴相切与点(1,0)，可得(1)320(1)10fmfmn，解得31,22mn，即3231()22fxxx且2()333(1)fxxxxx，当0x时，()0fx，fx单调递增；当01x时，()0fx，fx单调递减；当1x时，()0fx，fx单调递增，所以当0x，函数fx取得极大值，极大值为1(0)2f，当1x，函数fx取得极小值，极小值为(1)0f.故选：C.【例2-2】（2023春·内蒙古）已知函数32()fxxmxn的图象与x轴相切于点(1,0)，则fx的（）A．极小值0，极大值12B．极小值12，极大值0C．极小值0，极大值12D．极小值12，极大值0【答案】C【解析】由函数32()fxxmxn，可得2()32fxxmx，因为函数fx的图形与x轴相切与点(1,0)，可得(1)320(1)10fmfmn，解得31,22mn，即3231()22fxxx且2()333(1)fxxxxx，当0x时，()0fx，fx单调递增；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当01x时，()0fx，fx单调递减；当1x时，()0fx，fx单调递增，所以当0x，函数fx取得极大值，极大值为1(0)2f，当1x，函数fx取得极小值，极小值为(1)0f.故选：C.【例2-3】．（2023·全国·统考高考真题）（多选）若函数2ln0bcfxaxaxx既有极大值也有极小值，则（）．A．0bcB．0abC．280bacD．0ac【答案】BCD【解析】函数2()lnbcfxaxxx的定义域为(0,)，求导得223322()abcaxbxcfxxxxx，因为函数()fx既有极大值也有极小值，则函数()fx在(0,)上有两个变号零点，而0a，因此方程220axbxc有两个不等的正根12,xx，于是21212Δ80020bacbxxacxxa，即有280bac，0ab，0ac，显然20abc，即0bc，A错误，BCD正确.故选：BCD【一隅三反】1．（2023春·海南）已知函数32()fxxmxn的图象与x轴相切于点(1,0)，则fx的（）A．极小值0，极大值12B．极小值12，极大值0C．极小值0，极大值12D．极小值12，极大值0【答案】C【解析】由函数32()fxxmxn，可得2()32fxxmx，因为函数fx的图形与x轴相切与点(1,0)，可得(1)320(1)10fmfmn，解得31,22mn，即3231()22fxxx且2()333(1)fxxxxx，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当0x时，()0fx，fx单调递增；当01x时，()0fx，fx单调递减；当1x时，()0fx，fx单调递增，所以当0x，函数fx取得极大值，极大值为1(0)2f，当1x，函数fx取得极小值，极小值为(1)0f.故选：C.2．（2023·辽宁）已知函数fx的导数(1)()fxaxxa，若fx在=1x处取到极大值，则a的取值范围是__________．【答案】0,,1【解析】由题意当0a时不成立，当0a时fx有两个零点=1x与xa.①当0a时，fx开口向上，且1a，故当,1x时()0fx¢，1,xa时0fx，fx在=1x处取到极大值；②当a0时，fx开口向下；当1a时，0fx，fx无极大值；当1a时，在区间,1xa上()0fx¢，1,x上0fx，故fx在=1x处取到极大值；当10a时，在区间,1x上0fx，1,xa上()0fx¢，故fx在=1x处取到极小值.综上有0a或1a.故答案为：0,,13．（2023春·黑龙江）已知函数2fxxxc在2x处有极大值，则