4.3 利用导数求极值与最值（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.3利用导数求极值与最值（精练）1．（2023·海南）设函数4fxxx，则fx的极大值点和极小值点分别为（）A．4，4B．4，4C．2，2D．2，2【答案】C【解析】222222441xxxfxxxx，令0fx，得2x，当,2x，()0fx¢，函数fx单调递增，当2,0x，0fx，函数fx单调递减，当0,2x，0fx，函数fx单调递减，当2,x，函数fx单调递增，所以函数的极大值点是2，函数的极小值点是2.故选：C2．（2023春·湖北武汉）设函数fx在R上可导，其导函数为fx，且函数gxxfx的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．fx有三个极值点B．2f为函数的极大值C．fx有一个极大值D．1f为fx的极小值【答案】C【解析】()()gxxfx，并结合其图象，可得到如下情况，当2x时，()0,()0gxfx，fx在(,2)单调递减；当20x时，()0,()0gxfx，fx在(2,0)单调递增；当01x时，()0,()0gxfx，fx在(0,1)单调递增；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当1x时，()0,()0gxfx，fx在1,单调递减；∴fx在2x取得极小值，在1x处取得极大值，只有两个极值点，故A、B、D错，C正确；故选:C.3．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间,ab上的函数fx的导函数为fx，fx的图象如图所示，则（）A．fx在4,xb上有增也有减B．fx有2个极小值点C．45fxfxD．fx有1个极大值点【答案】D【解析】由图可得，当2,xax，4,xb时，0fx，当24,xxx时，0fx.所以fx的单调递增区间为2,ax，4,xb，单调递减区间为24,xx，所以fx有1个极大值点，1个极小值点.故A、B错误，而4545,xxbfxfx，C错误.故选：D4．（2023春·福建莆田）已知函数32fxaxbxcxd的大致图象如图所示，则（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．0,0,0abcB．0,0,0abcC．0,0,0abcD．a0,b0,c0【答案】B【解析】由图可知，函数()fx有两个递增区间，一个递减区间，所以函数232fxaxbxc图象开口方向朝上，且于x轴有两个交点，故0a；又函数()fx的极大值点在y轴左侧，极小值点在y轴右侧，且极大值点离y轴较近，所以方程2320fxaxbxc=的两根12,xx满足12120,0xxxx，即20,033bcaa，得0,0bc，因此0,0,0abc.故选；B.5．（2023春·天津武清）已知函数fx的导函数fx的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A．fx在区间1,1上单调递增B．fx在区间2,0上单调递增C．1为fx的极小值点D．2为fx的极大值点【答案】D【解析】对于A，当1,0x时，0fx；当0,1x时，()0fx¢；()fx\在1,0上单调递减，在0,1上单调递增，A错误；对于B，当2,0x时，0fx，()fx\在2,0上单调递减，B错误；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，fx在2,0上单调递减，1x不是fx的极小值点，C错误；对于D，当0,2x时，()0fx¢；当2,3x时，0fx；()fx\在0,2上单调递增，在2,3上单调递减，2x是fx的极大值点，D正确.故选：D.6．（2023·北京）已知函数fx的导函数fx的图像如图所示，若fx在0xx处有极值，则0x的值为（）A．-3B．3C．0D．4【答案】C【解析】由函数fx的导函数fx的图像可知当30x时，()0fx¢，当04x时，0fx，当4x时，0fx，即fx在(3,0)上单调递增，在(0,4)上单调递减，在(4,)上单调递减，故0x为函数fx的极大值点，即00x，故选：C7．（2023·山东）函数fx的导函数fx的图象如图所示，则（）A．12x为函数fx的零点B．函数fx在1,22上单调递减C．2x为函数fx的极大值点资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．2f是函数fx的最小值【答案】B【解析】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值与导数的关系可判断C，D.由fx的图象可知102f，当122x时，()0fx¢，当122x时，0fx，故12x为函数fx的极大值点，A错误；当122x时，0fx，故函数fx在1,22上单调递减，B正确；当122x时，0fx，当2x时，()0fx¢，故2x为函数fx的极小值点，C错误；当2x时，0fx，当122x时，()0fx¢，故2x为函数fx的极小值点，而2x也为函数fx的极小值点，2f与2f的大小不定，故2f不一定是函数fx的最小值，D错误,故选：B8．（2023·全国·高三对口高考）已知2()1fxxmx在区间[2,1]上的最大值就是函数fx的极大值，则m的取值范围是（）A．[2,)B．[4,)C．[4,2]D．[2,4]【答案】C【解析】()2fxmx，令()0fx，得2mx，因为2()1fxxmx在区间[2,1]上的最大值就是函数fx的极大值，则必有[2,1]2m，所以[4,2]m.故选：C.9．（2023春·山东聊城）若函数3212()33fxxx在区间(1a,5a)内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[－5,1)B．(－5,1)资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．[－2,1)D．(－2,1)【答案】C【解析】由2()2fxxx，令()0fx，可得2x或0x，由()0fx得：2x或0x，由()0fx得：20x，所以函数()fx在(,2)上单调递增，在(2,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，所以函数在0x处取得极小值2(0)3f，令32122333fxxx，解得0x或3x，若函数()fx在(1a,5a)内存在最小值，则3105aa，得21a．故选：C10．（2023春·四川眉山）已知函数32133yxxxa，aR，在区间(3,5)tt上有最大值，则实数t的取值范围是（）A．60tB．60tC．62tD．62t【答案】B【解析】223(3)(1)yxxxx，当1x或3x时，0y，当13x时，0y，所以函数在(,1)，(3,)上递增函数，在(1,3)上递减函数，故=1x时函数有极大值，且1553xxyy，所以当函数在(3,5)tt上有最大值，则1(3,5)tt且55t，即31555ttt，解得60t.故选：B.11．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数2322,023,0xmxfxxxx的最小值是2，则实数m的取值范围是（）A．0mB．0mC．0mD．0m【答案】A【解析】当0x时，3223fxxx，则26661fxxxxx，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当01x时，0fx，此时函数fx单调递减，当1x时，()0fx¢，此时函数fx单调递增，所以，函数fx的极小值为11f，因为函数fx的最小值为2，当0m时，函数fx在,0上单调递减，此时，函数fx在,0上无最小值，不合乎题意；当0m时，函数fx在,m上单调递减，在0m,上单调递增，此时，函数fx在,0上的极小值为2fm，且21，则min2fxfm，综上所述，0m.故选：A.12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数23()2ln2fxxxx，则fx的极小值为______．【答案】12/-0.5【解析】函数的定义域为0,，1(31)(1)32fxxxxxx，令()0fx¢，即(31)(1)0xxx，得1x，令0fx，即(31)(1)0xxx，得01x，故函数fx的单调递增区间为1,，单调递减区间为0,1，故当1x时，函数fx取得极小值，极小值为311222f．故答案为:12.13．（2023春·上海）函数32yxaxa在0,1内有极小值，则实数a的取值范围是_________．【答案】0,3【解析】因为32yxaxa，则23yxa，因为函数32yxaxa在0,1内有极小值资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以方程230yxa必有一根在0,1内，当0a时，230xa的两根为13xa，若有一根在0,1内，则1013a，即03a，此时当103xa时，230yxa，则32yxaxa单调递减；当113ax时，230yxa，则32yxaxa单调递增；所以32yxaxa在13xa处取得极小值，满足题意；当0a时，230xa的两根相等，均为0x，则fx在0,1内无极小值；当a0时，230xa无实根，则 fx在0,1内无极小值；综上，03a，故实数a的取值范围为0,3故答案为：0,3.14．（2023·重庆）如果函数321()3fxxbxcxbc在1x处有极值43，则bc的值为__________．【答案】2【解析】因为函数321()3fxxbxcxbc在1x处有极值43，所以()01f，4(1)3f.由于2()2fxxbxc，所以(1)120fbc.14(1)33fbcbc，解得：11bc或13bc.当11bc时，321()13fxxxx，22()2110fxxxx，所以()fx单调递减，无极值.所以2bc.故答案为：215．（2023春·河南南阳）若函数23exfxxax在0,上有且仅有一个极值点，则a的取值范围是______．【答案】,3【解析】因为223exfxxaxa，令223gxxaxa，由题意可知，fx在0,内先减后增或先增后减，结合函数gx的图像特点可知，fx在0,内先减后增，即30a，或20230aa，解得3a.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以a的取值范围是,3故答案为：,316．（2023春·上海）已知函数2fxxxc在2x处有极大值，则c______.【答案】6【解析】由已知322()2fxxcxcx，可得22()34fx