6.4 求和方法（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6.4求和方法（精练）1．（2023·江苏苏州·模拟预测）2022年11月8日，著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告，与北大数学师生分享他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作，他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式：acbdabccdb.已知数列na的通项公式为222232nannnn，则其前9项的和9S等于（）A．13280B．20196C．20232D．29520【答案】B【解析】22222232121nannnnnnnn，22222291239230134124523Saaaa2222221011891011910011220196.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事：古希腊著名的数学家、思想家阿基米德与国王下棋.国王输了，问阿基米德要什么奖赏？阿基米德说：“我只要在棋盘上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了.”通过计算，国王要给阿基米德6364124221粒米，这是一个天文数字.100年后，又一个数学家小明与当时的国王下棋，也提出了与阿基米德一样的要求，由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事，所以没有同意小明的请求.这时候，小明做出了部分妥协，他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，首先按照阿基米德的方法，先把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王一粒米，并由此计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给国王一粒米，就剩下三粒米；第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看，每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案显著减少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，请你计算64个格子一共能得到（）粒米.A．6221B．6321C．62262D．63263【答案】D【解析】按照小明的方案，设第n个格子放的米粒数为na，其中Nn，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则数列na满足：11a，22a，1213nnaan，所以，当3n时，1121nnaa，故数列1na是从第2项开始成以2为公比的等比数列，且211a，所以，1112nna，则121nna，所以，数列na的前64项和为12626412212121S62262632123222626526312.故选：D.3．（2023·广东广州·统考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若1nnaa是公差不为零的等差数列，则称数列na为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，L，则第40层放小球的个数为（）A．1640B．1560C．820D．780【答案】C【解析】设第n层放小球的个数为na，由题意212aa，323aa，……，数列1nnaa是首项为2，公差为1的等差数列，所以*12(2)2,Nnnaannnn．故12111()()12(1)2nnnaaaaaannn，故40140418202a．故选：C．4．（2023·安徽淮南·统考二模）我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”.朱世杰著有《四元玉鉴》和《算学启蒙》等，在《算学启蒙》中，最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题，其中记载有以下问题：“今有三角、四角果子垛各一所，共积六百八十五个，只云三角底子一面不及四角底子一面七个，问二垛底子一面几何？”其中“积”是和的意思，“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛，自上至下依次有1，3，6，10，15，…，个果子，“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛，自上至下依次有1，4，9，16，…，个果子，“底子一面”指每垛最底层每条边”.根据题意，可知该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数是（）（参考公式：22221211236nnnn）A．4，11B．5，12C．6，13D．7，14【答案】B资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设三角果子垛自上至下依次为123413610aaaa，，，，，当2n时，所以11232211nnnnnaaaaaaaaaa212122nnnn，且1n时11a，所以三角果子垛第n层的果子数为222nnna，四角果子垛第n层的果子数为2n，设三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别为,7mm，所以三角果子垛各层果子总和为22221112312322mm，四角果子垛各层果子总和为22221237m，由题意2222222211123123123768522mmm，即12117821516852646mmmmmmmm，解得5,712mm，所以该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别是5,12.故选：B.5．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行123100L的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项21002101nnan，则12100...aaa（）A．98B．99C．100D．101【答案】C【解析】由已知，数列通项21002101nnan，所以10121002(101)100210010224202221012(101)101210110122101nnnnnnnaannnnn，所以91110029398012nnaaaaaaaa，所以12100...502100aaa.故选：C.6．（2023·江西南昌·统考三模）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项251,262521,26nnnann，则资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1251...aaa（）A．48B．49C．50D．51【答案】D【解析】当26n时，2512521112522522(26)nnnannn，52111122(26)2(5226)nnaann，1251Saaa，51491Saaa，1512495112()()()251Saaaaaa，51S，即1251...51aaa.故选：D．7．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放na个物体堆成的堆垛，则122022111aaa______．【答案】40442023/202112023【解析】依题意，在数列{}na中，1213211,2,3,,(2)nnaaaaaaann，当2n时，121321(1)()()()1232nnnnnaaaaaaaan，11a满足上式，因此(1)2nnna，12112()(1)1nannnn，数列1{}na的前n项和为nS，则11111111122[()()()()]2(1)122334111nnSnnnn，所以202212202211140442023Saaa.故答案为：404420238．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对123100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数2()22xxfx，设数列na满足资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】121(0)(1)Nnnafffffnnnn，若12nnnba，则nb的前n项和nS_________．【答案】12nn【解析】由2()22xxfx得，1122()(1)222222212222222222xxxxxxxxxxfxfx，由121(0)(1)Nnnafffffnnnn，得121(1)(0)nnafffffnnn，故121,2nnnana，故12(1)2nnnnban，所以123223242...(1)2nnSn，则312422232422(1)2nnnSnn，两式相减得：2312222...2(1)2nnnSn112(12)221122()nnnnn故12nnSn，故答案为：12nn9．（2023·全国·高三专题练习）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm12dm，20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和21240dmS，对折2次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和22180dmS，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n次，那么1nkkS______2dm.【答案】541537202nn【解析】（1）由对折2次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312561032022，，；，共4种不同规格（单位2dm)；故对折4次可得到如下规格：5124，562，53，3102，3204，共5种不同规格；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为1202dm,第n次对折后的图形面积为111202n，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）