6.4 求和方法（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6.4求和方法（精讲）一．公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．1.等差数列的前n项和公式Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d．2.等比数列的前n项和公式Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.二．裂项相消法1.通项特征（1）分式：分为可拆成偶数个同类因式相乘（2）根式：利用平方差公式进行有理化2.解题思路资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11=a(-)n=a[()+()+()+...+()]=通项原式通项裂项分母小因式分母大因式前项和相消后化简三．错位相减法1.通项特征等差数列等比数列（即一次函数指数型函数）或等差数列一次函数（即）等比数列指数型函数2.解题思路nnS+++...+n=1n=2n=3n=nqS+++...+q-①②①的基础上左右同时乘，即在①式中指数加1①②代入通项公式，等差数列当等比数列的系数在n-+k()=+k()=-Sn得（1q)S①中的第一项指数函数相加②的最后一项①中的第一项等比求和公式②的最后一项化简两边同时除以（1q)即得四．分组转化求和法1.通项特征(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)若an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数，且数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．2.解题思路n123n123nS(ccc...c)(bbb...b)nn根据a、b通项的特征选择求和的方法五．并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和1.通项特征形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.解题思路2n1234562n12nn123456n1n1S(aa)(aa)(aa)...(aa)=2(i)nS(aa)(aa)(aa)...(aa)=(ii)n2nn（）当求和为2n项时即S计算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法（）当求和为n项时即S，需要分n为奇数还是偶数当为偶数时计算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法当n123456n2n-1nn1234567n-1nS(aa)(aa)(aa)...(aa)+a=Saaaaa(aa)...(a+a)=为奇数时计算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法或（）（）计算出每个括号的结果，在根据结果特征选择求和方法五．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解1．并项求和时不能准确分组；2．用错位相减法求和时易出现符号错误，不能准确“错项对齐”；3．在应用裂项相消法求和时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项，后面就剩多少项，且前后对应项的符号相反．考法一裂项相消求和【例1-1】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等差数列{}na的公差为正数，且11a，若26114,2,aaaa分别是等比数列{}nb的前三项．(1)分别求数列{}na、{}nb的通项公式；(2)求数列11{}nnaa的前n项之和nS．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)21,3nnnanb(2)21nnSn【解析】（1）设等差数列na的公差为0dd，因为2a，612aa，14a是等比数列nb的前三项，所以2612142aaaa，即2111513daadad，化简得12da，又11a，所以2d．得12121nann．由（1），可得数列nb的前三项分别为13b，29b，327b，显然该等比数列nb的公比为3，首项为3．所以3nnb．综上，两数列的通项公式分别为21,3nnnanb．（2）111111()(21)(21)22121nnaannnn．则11111111(1...)(1)2335212122121nnSnnnn【例1-2】（2023·广东广州·统考三模）已知数列na的前n项和为nS，且12S，12nnnSan，nnSbn(N)n．(1)求数列nb的通项公式；(2)设1(1)(1)nnnnbcbb，数列nc的前n项和nT，求证：213nT．【答案】(1)2nnb(2)证明见解析【解析】（1）因为12nnnSan，所以1(2)nnnSna，因为11nnnaSS，所以1(2)()nnnnSnSS，即12(1)nnnSnS，所以12(N)1nnSSnnn．即12nnbb，又112bS，所以数列nb是首项为2，公比为2的等比数列．所以2nnb.（2）111211(1)(1)(21)(21)2121nnnnnnnnnbcbb，故数列nc的前n项和22311111112121212121nnnT11121n，因为Nn，所以1110213n，所以213nT．【例1-3】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，14a且*14NnnaSn.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求数列na的通项公式;(2)若1221(1)lognnnnbna，求数列nb的前n项和nT.【答案】(1)12nna(2)1(1)11nnTn【解析】（1）因为14nnaS，当1n时，2148aS，当2n时，14nnaS，所以1nnnaaa，即12nnaa2,Nnn，又因为21824aa，满足上式，所以na是以4为首项，2为公比的等比数列，则11422nnna.（2）因为1112212111(1)(1)(1)log(1)1nnnnnnnbnannnn，所以11111111111122311nnnTnnn.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n阶和数列各项和为nS．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S与三阶和数列各项和3S，并猜想nS的通项公式（无需证明）；(2)若311log3log33nnncSS，求nc的前n项和nT，并证明：1126nT．【答案】(1)21263S，12312633S，133nnS(2)1122nTn，证明见解析【解析】（1）由题意得，116512S，217611512181263S，2123187136171116512185412636312633S，41981572013196231728112716215S1218541622312636363资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】123126333，…12311263333(1)nnSn，由等比数列的前n项和公式可得，113131263313nnnS，所以nS的通项公式133nnS．（2）由于133nnS，所以33111111log3log31221nnncSSnnnn，则1111111132432122nTnnn，因为nN，所以102n，所以111222n，又nT随n的增大而减小，所以当1n时，nT取得最大值16，故1126nT．2．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列na满足111,12nnnaaaa．(1)证明1na为等差数列，并na的通项公式；(2)设214nnncnaa，求数列nc的前n项和nT．【答案】(1)证明见解析，121nan(2)21nnTnn【解析】（1）证明：因为112nnnaaa，所以112112nnnnaaaa，即1112nnaa所以1na是以111a=为首项，2为公差的等差数列，则112121nnna，所以121nan；（2）222212244411111141121214141212122121nnnnnncnaannnnnnnn12311111112335212121nnnTccccnnnnn.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列na中，112,1nnaaan(1)求数列na的通项公式；(2)设1nnba，数列nb的前n项和为nT，证明2nT.【答案】(1)222nnna(2)证明见解析【解析】（1）因为11nnaan，即11nnaan，所以当2n时，213212,3,,nnaaaaaan，将以上各式相加，得112232nnnaan，则222nnna，当1n时也符合上式，故222nnna.（2）由题意221222112211nnbannnnnnnn.所以121111112121222311nnTbbbnnn4．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设nS为数列na的前n项和，已知11a，且满足2(1)nnSan．(1)求数列na的通项公式；(2)设nT为数列nb的前n项和，当2n时，111nnnnbaaa．若对于任意*nN，有1nT，求1b的取值范围．【答案】(1)nan(2)134b【解析】（1）112(1),2(2)nnnnSanSann，∴12(1)nnnanana，1(1)(2)nnnanan，∴111(2)11nnaaannn,∴当2n时，nan；当1n时，也符合上式，∴nan．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）1111(1)(1)2(1)(1)nbnnnnnnn，∵1111111111()()21223223342(1)(1)nTbnnnn11111111212(1)42(1)bbnnnn，∴13142(1)bnn，当134b时，满足13142(1)bnn，当134b时，存在11134nb，（其中，x表示不超过x的最大整数），使得201134nb，则22000112234nnnb，∴10031421bnn，不满足条件，∴134b．考法二错位相减求和【例2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市