7.4 空间距离（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7.4空间距离（精讲）一．点到线的距离1.概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；设𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗＝ar，直线l的一个单位方向向量为ur，则向量𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗在直线l上的投影向量𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗＝uau()rrr，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝√|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|2-|𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|2＝22aau()rrr二．两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.三．点到平面的距离：已知平面α的法向量为nr，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则nr是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗在直线l上的投影向量𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗的长度.因此APAPnPQAPnnnnnuurrruurruurgrrr资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】四．直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；五．两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.一．求点面距常见方法方法一：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离方法二：等体积法方法三：向量法二.向量法求两异面直线的距离分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为ar，与这两条异面直线都垂直的法向量为nr，则两条异面直线间的距离就是ar在nr方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式andnrrr求解.考点一点线距【例1-1】（2023春·江西南昌）如图，ABCDEFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足112233APABADAE，则P到AB的距离为（）A．34B．35资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．53D．53【答案】D【解析】以A为坐标原点，,,ABADAE正方向为,,xyz轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则0,0,0A，1,0,0B，0,1,0D，0,0,1E，1,0,0AB，0,1,0ADuuur，0,0,1AE，112112,0,00,,00,0,,,233233AP，132cos11429499APABBAPAPAB，且BAP为锐角，225sin1cos29BAPBAP，点P到AB的距离29255sin6329dAPBAP.故选：D.【例1-2】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线l的方程为1xyz，空间一点(1,1,1)P，则点P到直线l的距离为（）A．22B．1C．33D．63【答案】D【解析】根据题意，直线l的方程为1xyz，即1111xyz，则直线l的方向向量为1,1,1n，又因为过点0,1,0A，2221113n，1,0,1AP，则22112AP，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故AP在n上的射影为：22333APnn，故点P到直线l的距离为：224262333APndAPn.故选：D.【一隅三反】1．（2023春·广东茂名·高三校考阶段练习）菱形ABCD的边长为4，60A，E为AB的中点（如图1），将ADEV沿直线DE翻折至ADE处（如图2），连接AB，AC，若四棱锥'AEBCD的体积为43，点F为AD的中点，则F到直线BC的距离为（）A．312B．232C．314D．234【答案】A【解析】连接BD，因为四边形ABCD为菱形，且60A，所以ABD△为等边三角形，因为E为AB的中点，所以DEAB，所以,DEEBDEAE，因为EBAEE，,EBAE平面AEB，所以DE平面AEB，因为菱形ABCD的边长为4，所以4,23,2ABADCDBCDEAEBE，所以直角梯形BCDE的面积为1(24)23632，设四棱锥'AEBCD的高为h，则163433h，得2h，所以hAE，所以AE平面BCDE，所以以E为原点，,,EBEDEA所在的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则(0,2,0),(23,4,0),(3,0,1)BCF，所以(23,2,0)BC，所以31,,0,(3,2,1)22BCcaFBBC资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以3134122,122aac，所以F到直线BC的距离为22131842daac，故选：A2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体1111ABCDABCD中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且ABAD，1160AABAAD，E为1CC的中点，则点E到直线1AC的距离为（）A．510aB．55aC．54aD．53a【答案】A【解析】在平行六面体1111ABCDABCD中，不妨设ABd，ADb，1AAc．11ACABADAAdbc,112CEc=-，dbca，2110,22dbdcbcaaa，所以22212225ACdbcdbcdbdccba=，112CEa=，2111122ACdbcdCEccacbcc-=-，所以E到直线1AC的距离为222221111145510ACadaCECEaaAC，故选：A资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点二线线距【例2】（2023·全国·高三专题练习）长方体1111ABCDABCD中，12ABAA，1AD，E为1CC的中点，则异面直线1BC与AE之间的距离是（）A．13B．2121C．23D．22121【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A，(1,2,0)B，(0,2,0)C，1(0,2,2)C，(0,2,1)E，(1,2,1)AE，1(1,0,2)BC，设1BC与AE的公垂线的一个方向向量为(,,)nxyz，则12020nAExyznBCxz，取1z，得2x，12y，即1(2,,1)2n，又(0,2,0)AB，所以异面直线1BC与AE之间的距离为2221222122112()12ABndn．故选：D．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）在长方体1111ABCDABCD中，1AB，2BC，13AA，则异面直线AC与1BC之间的距离是（）A．55B．77C．66D．67【答案】D【解析】如图所示，以D为原点，1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴如图建立空间直角坐标系则1(2,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,1,3)ACBC1(2,1,0),(2,0,3)CABC设直线AC与1BC的公垂线的方向向量为(,,)nxyz则12002300xynCAxznBC不妨令23,6(3,6,2)zxyn又(0,1,0)AB则异面直线AC与1BC之间的距离22266||7||362ABndn故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】距离的最小值．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，直线AC与1BC之间的距离是（）A．22B．33C．12D．13【答案】B【解析】设M为直线AC上任意一点，过M作1MNBC，垂足为N，可知此时M到直线1BC距离最短设AMACABAD，11BNBCADAA，则1(1)()MNANAMABBNAMABADAA，11BCAAAD，1MNBC，1·0MNBC，即11[(1)()]()0ABADAAADAA，221()0ADAA，即0，2，1(12)MNABADAA，2112222212121112641633MNABADAAABADAA，当13时，||MN取得最小值1333，故直线AC与1BC之间的距离是33.故选：B.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCDABCD中，1AB，2BC，13AA，则异面直线AC与1BC之间的距离是（）A．55B．77C．66D．67【答案】D【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3ACBC，则2,1,0AC，12,0,3BC，设AC和1BC的公垂线的方向向量,,nxyz，则100nACnBC，即20230xyxz，令3x，则3,6,2n，0,1,0AB，67ABndn.故选：D.考点三点面距【例3-1】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面PAD平面ABCD，ABPD．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证：平行四边形ABCD为矩形；(2)若E为侧棱PD的中点，且平面ACE与平面ABP所成角的余弦值为64，求点B到平面ACE的距离．【答案】(1)证明见解析(2)22【解析】（1）取AD中点M，连接PM，PAD为正三角形，则PMAD，面PAD面ABCD，面PAD面ABCDAD，PM面PAD，则PM面ABCD，AB面ABCD，故PMAB，又ABPD，,PMPD面PAD，PMPDP，所以AB面PAD，AD面PAD，故ABAD，则平行四边形ABCD为矩形.（2）如下图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，设0ABt，则0,0,0A，,0,0Bt，,2,0Ct，0,1,3P，33(0,,)22E，所以33(,2,0),(0,,)22ACtAE，(,0,0),(0,1,3)ABtAP，设面ACE的法向量为111,,xnyz，则11112033022nACtxynAEyz，令12x，则2,,3ntt，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设面ABP的法向量为222,,mxyz，则222030nABtxnAPyz，令21z，则0,3,1m，由2236|cos,|||||4244mntmnmnt，解得1t，则面ACE的法向量为2,1,3n，(1,0,0)AB，点B到平面ACE的距离||2228ABnn.【例3-2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图，在四面体ABCD中，,,2,3,60ADCDADCDACABCAB．点E为棱AB上的点，且ACDE，三棱锥DBCE的体积为36．(1)求点A到平面CDE的距离；(2)求平面BCD与平面CDE夹角的余弦值．【答案】(1)2217(2)19385385【解析】（1）取AC中点F，连接,FEFD，因为ADCD，所以DFAC，又,,,ACDEDEDFDDEDF平面DEF，所以AC平面DEF，而