题型01 不等式相关解题技巧（基本不等式链、权方和不等式、两类糖水不等式）（原卷版）

题型01不等式相关解题技巧（基本不等式链、权方和不等式、两类糖水不等式）技法01基本不等式链的应用及解题技巧例1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足221xyxy，则（）A．1xyB．2xy技法01基本不等式链的应用及解题技巧技法02权方和不等式的应用及解题技巧技法03普通型糖水不等式的应用及解题技巧本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查.知识迁移基本不等式链:,当且仅当时,等号成立.其中分别为平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.C．222xyD．221xy由基本不等式链:222(0,0)1122ababababab,可得22222ababab（,abÎR），对于AB由221xyxy可变形为，221332xyxyxy，解得22xy，当且仅当1xy时，2xy，当且仅当1xy时，2xy，所以A错误，B正确；对于C【法一】由221xyxy可变形为222212xyxyxy，解得222xy，当且仅当1xy时取等号，所以C正确【法二】由22222,22xyxyxyxy,得2222222xyxyxxyy,又因为221xxyy,所以222122xyxy,即21()1,24xyxy.【法三】2222221()3()3()24xyxxyyxyxyxyxy,又因为221xxyy,所以21()1,24xyxy.【答案】：BC．1．（2023·湖北·模拟预测）（多选）若0a，0b，2ab，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的有（）A．1abB．2abC．222abD．2132ab2．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）（多选）若0,0,4abab，则下列不等式对一切满足条件,ab恒成立的是（）A．2abB．2abC．2243abD．111ab3．（2023·江苏模拟）（多选）已知实数x，y满足223325xyxy，则（）A．1xyB．5xyC．2254xyD．1533yx技法02权方和不等式的应用及解题技巧例2．（2023·浙江模拟）已知11,2ab，且23ab，则11121ab的最小值为（）A．1B．92C．9D．12因为23ab，所以426ab由权方和不等式222()ababxyxy可得在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式（链）来求最值，解题中往往会遇到思路繁琐，计算量大的情况，学生不易求解，而此时的权方和不等式优势极其明显，可以做到快速求解，常在小题中使用.知识迁移权方和不等式的初级应用:若则当且仅当时取等.(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)222211111914221442144214421abababab当且仅当214421ab，即72,63ab时，等号成立．【答案】C1．（2023·四川·校联考一模）已知正数x，y满足5xy，则1122xy的最小值是.2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）设0,2ab且4ab，则212ab的最小值是．3．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知正数x，y满足4xy，若2212xyaxy恒成立，则实数a的取值范围是．技法03普通型糖水不等式的应用及解题技巧在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.知识迁移1.糖水不等式定理:若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜;2.糖水不等式的倒数形式:设,则有:例3-1．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数,,abc满足0abc，则下列说法正确的是（）A．11cabaB．bbcaacC．11acabcaD．2abcacbc【法一】由糖水不等式的倒数形式，0,0bac,则有:cbbaac【法二】bbcbacabcbcacbaaac，故B正确；因为0abc，所以有110,cabacaba，故A错误；1111baacabcaab，故C正确；200abcacbcccbacbcacb，故D正确．【答案】BCD例3-2．（2020·全国·统考高考真题）已知5584，13485．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．abcB．bacC．bcaD．cab【法一】824ln3lnlnln3ln5558ln5ln8ln8ln5ln5ab,又1339ln3lnlnln3ln85513ln5ln13ln13ln5ln5ac，用排除法,选A.【法二】545488458log5log85b，454513134138log13log85cbc若5855log3log5log3log81厖,但2255555log3log8log24log3log82225log2512,ab综上所述，abc.【法三】由题意可知a、b、0,1c，222528log3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg241log5lg5lg522lg5lg25lg5ab，ab；由8log5b，得85b，由5458，得5488b，54b，可得45b；由13log8c，得138c，由45138，得451313c，54c，可得45c.综上所述，abc.【答案】A1．（2022·江苏阶段练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（0a，0b，且ab），若再添加c克糖0c后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：bcbaca，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（）A．若0ab，0m，则bmam与ba大小关系不随m的变化而变化B．若0ab，0bm，则bbmaamC．若0ab，0cd，则bdbcadacD．若0a，0b，则111abababab2.若等比数列前n项和为10,0nSaq,比较2nnSS与21nS的大小.3.证明:ABC中,sinsinsinsinsinsinABBCCAsin2sinsinCAB技法04对数型糖水不等式的应用及解题技巧例4．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89mmmab，则（）A．0abB．0abC．0baD．0ba【法一】对数型糖水不等式因为910m,所以9log10m.在上述推论中取9,10ab,可得9log10m10log11lg11,且98log10log9m.所以lg11101110110,mab9log989890m,即0ab,选A.【法二】普通型糖水不等式由已知条件910m,可得9log10m.同公式(2)的证明过程,可以得到lg10lg9m在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.知识迁移(1)设,且,则有(2)设,则有(3)上式的倒数形式：设,则有10100lg10lglg10099lglg1110lg109lg9lg9,即mlg11.所以lg1110110a,即0a.880lg10lglglg10998lg9lg8lg9lg9又m8880loglog99,即8log9m,所以8log98b90,即0b.综上,0ab,选A.1.比较234log3,log4,log5的大小？2.比较大小:7log4与9log6？3．（2022·安徽黄山·统考一模）下列不等式不正确的是（）A．7562B．π3.1π3.1C．115sincos510D．46log3log5