题型13 6类解三角形公式定理解题技巧（海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式）（原卷版）

题型136类解三角形公式定理解题技巧（海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式）技法01海伦公式的应用及解题技巧知识迁移海伦-秦九韶公式三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为()()()Sppapbpc其中2abcp，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:222222142abcSab例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是技法01海伦公式的应用及解题技巧技法02射影定理的应用及解题技巧技法03角平分线定理的应用及解题技巧技法04张角定理的应用及解题技巧海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材料题在高考及模考中出现，需加以练习.222222142cabSca，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2abc，则该三角形的面积S．【详解】因为222222142cabSca，所以242312342442S．故答案为：234.1．（2022·全国·校联考模拟预测）在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积Sppapbpc，这里2abcp．已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，6a，10bc，则ABC的面积最大值为（）．A．63B．82C．10D．122．（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：Sppapbpc（其中2abcp）；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为1027的ABC满足sin:sin:sin2:3:7ABC，则用以上给出的公式求得ABC的面积为（）A．87B．47C．63D．123．（2023·海南·校联考模拟预测）（多选）古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：Sppapbpc，其中2abcp，a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点．已知在ABC中，sin:sin:sin8:7:3ABC，且ABC的面积为123，则（）A．角A，B，C构成等差数列B．ABC的周长为36C．ABC的内切圆面积为8π3D．BC边上的中线长度为26技法02射影定理的应用及解题技巧知识迁移射影定理BcCbacoscos，AcCabcoscos，AbBaccoscos例2．（全国·高考真题）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若2coscoscosbBaCcA，则B．在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.又0Bπ，∴B＝.1．（2023·上海浦东新·统考二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若5coscoscosaAbCcB，则sin2A．2．（全国·高考真题）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cos(coscos)CaBbAc.（1）求角C；（2）若7c，332ABCS，求ABC的周长.3．（2023·全国·统考高考真题）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2222cosbcaA．(1)求bc；(2)若coscos1coscosaBbAbaBbAc，求ABC面积．4．（上海虹口·高三上外附中校考期中）在ABC中，223coscos222CAacb，则（）三角形中隐藏着许多性质，比如三角形射影定理就能够在解三角形中简化计算过程，但是在考试中解答题不能直接使用，需要推导。不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，在一些小题中，应用三角形射影定理能够快速得到答案，需强化练习A．a，b，c依次成等差数列B．b，a，c依次成等差数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，b，c既成等差数列，也成等比数列5．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若ABC的面积23ABCS，6ab，coscos2cosaBbACc，则c.技法03角平分线定理的应用及解题技巧知识迁移角平分线定理（1）在ABC中，AD为BAC的角平分线，则有CDACBDAB（2）2cos2BACbcADbc（3）2ADABACBDCD（库斯顿定理）（4）ABDACDSABACS例3．（2023·全国·统考高考真题）在ABC中，60,2,6BACABBC，BAC的角平分线交BC于D，则AD．在解三角形中，应用角平分线定理及其变形公式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点，需重点学习.由余弦定理可得，22222cos606bb，因为0b，解得：13b，则2cos2BACbcADbc计算即可，故答案为：2．1．（2023·全国·高三专题练习）△ABC中，边BC内上有一点D，证明：AD是A的角平分线的充要条件是ABBDACDC．2．（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）在ABC中，角A的角平分线交BC于点D，且4,2ABAC，则AD等于（）A．1233ACABB．5233ABACC．2133ACABD．2133ACAB3．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2π3A，7a，3b，则角A的角平分线AD.4．（2023春·安徽滁州·高一统考期末）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinsinsinsin0aAbBcCbC.(1)求角A的大小；(2)若5AB，3AC，AD是△ABC的角平分线，求AD的长.技法04张角定理的应用及解题技巧知识迁移张角定理ADACAB)sin(sinsin例4-1．（内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，已知AD是ABC中BAC的角平分线，交BC边于点D.（1）用正弦定理证明：ABBDACDC；（2）若120BAC，2AB，1AC，求AD的长.先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得AD的长为．例4-2．在ABC中,角、、ABC所对的边分别为、、abc,已知点D在BC边上,22,sin,32,33ADACBACABAD,则CD__________解：如图在解三角形中，应用张角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点，需重点学习.22sin3BAC21cos1sin3BACBAC由张角定理得:sinsinsinBACBADDACADACAB即22sinsin232332BACAC2222cos1932122139323233BACACACACCDADAC1.在△𝐴𝐵𝐶中,角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐,已知𝑏=2,𝑐=4,∠𝐵𝐴𝐶=120∘,∠𝐵𝐴𝐶的角平分线交边𝐵𝐶于点𝐷,则𝐴𝐷=_____2.在ABC中,角、、ABC所对的边分别为,、、abcAD是BAC的角平分线,若,||233BACAD,则2bc的最小值为_______3．（2023上·河南信阳·高二河南宋基信阳实验中学校考期末）ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，120ABC，BDBC交AC于点D，且1BD，2ac的最小值为（）A．83B．833C．8D．83技法05倍角定理的应用及解题技巧知识迁移倍角定理在ABC中,三个内角ABC、、的对边分别为、、abc,(1)如果2AB,则有:22abbc，(2)如果2CA,则有:22caab，(3)如果2BC,则有:22bcac倍角定理的逆运用在ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为、、abc,(1)如果22abbc,则有:2AB，(2)如果22caab,则有:2CA，(3)如果22bcac,则有:2BC。例5．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为𝑎、𝑏、𝑐,若𝐵=2𝐴,𝑎=1,𝑏=√3,则𝑐=_______∵𝐵=2𝐴,由倍角定理得:𝑏2=𝑎2+𝑎𝑐即(√3)2=12+1×𝑐∴𝑐=2在解三角形中，应用倍角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习.1.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为𝑎、𝑏、𝑐,已知8b=5c,C=2B,则cos𝐶=2.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为𝑎、𝑏、𝑐,若A=2B,则𝑐𝑏+(2𝑏𝑎)2的最小值为3.△𝐴𝐵𝐶中,角𝐴、𝐵、𝐶所对的边分别为𝑎、𝑏、𝑐,若𝑎2−𝑏2=𝑏𝑐,且𝑠𝑖𝑛𝐴=√3𝑠𝑖𝑛𝐵,则角𝐴=4.（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足2bcca．(1)证明：2BC；(2)求113sintantanBCB的取值范围．技法0610类恒等式的应用及解题技巧知识迁移三角恒等式在ABC中，①sinsinsin4coscoscos222ABCABC；②coscoscos14sinsinsin222ABCABC；③222sinsinsin22coscoscosABCABC；④222coscoscos12coscoscosABCABC；在解三角形中，应用恒等式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习.⑤222sinsinsin12sinsinsin222222ABCABC；⑥222coscoscos22sinsinsin222222ABCABC；⑦tantantantantantanABCABC；⑧cotcotcotcotcotcot1ABACBC；⑨cotcotcotcotcotcot222222ABCABC；⑩tantantantantantan1222222ABBCCA。例6．（2023·全国·高三专题练习）在锐角ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若tantantan3tantanABCBC，A=______tantantantantantanABCABC，可得tan3A，所以π3A.1.在△𝐴𝐵𝐶中，tan𝐴:tan𝐵:tan𝐶=1:2:3,则𝐴𝐵𝐴𝐶=______2．（河南·高一竞赛）在ABC中，设coscoscosxABC，sinsinsin222ABCy.则x、y的大小关系是（）.A．xyB．xyC．xyD．不能确定3．（全国·高三竞赛）在ABC中，sinsinsinMABC=++，coscoscos222ABCN．则M、N的大小关系是（）．A．MN=B．MNC．MND．无法确定