专题14 三次函数（原卷版）

专题14三次函数一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次函数,使得我们可以利用二次函数研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一个热点.二、解题秘籍(一)三次函数的图象与性质三次函数32()(0)fxaxbxcxda的图象有六种,如图：100102000200fx()x100102000200fx()x100102000200fx()x100102000200fx()x100102000200fx()x100102000200fx()x2.对函数32()(0)fxaxbxcxda进行求导：2()32fxaxbxc是二次函数,原函数的极值点与单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数a与的符号起决定性作用.当a为正时,原函图(1)图(2)图(3)图(4)图(5)图(6)数的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当a为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、（6）三种情况.当0时,二次方程()0fx有两相异实根12,xx,且在12,xx的两边()fx的符号相反,故函数()fx存在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当0时,二次方程()0fx有两相等实根,且在根的两边()fx的符号相同,这时函数()fx只存在驻点（但不是极值点）,函数的图象为上图中（1）、（2）两种,当0时；方程()0fx无实根,()fx的值恒为正（或负）,函数的图象为上图中的（5）、（6）两种.仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设nxmfxmf2)()(,得ndxmcxmbxmadxmcxmbxma2])()()([])()()([2323整理得,ndmcbmamxbma2)2222()26(232.据多项式恒等对应系数相等,可得abm3且dmcbmamn23,从而三次函数是中心对称曲线,且由)(mfn知其对称中心))(,(mfm仍然在曲线上.而abm3是否具有特殊的意义？对函数)(xf进行两次求导,baxxf26)(再令等于0,得abx3,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足0)(mf的m正是函数拐点的横坐标,这一性质刚好与图象吻合.除此,三次函数的对称中心还有一个很少引起注意的性质---过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有二条.由于三次曲线都是中心对称曲线,因此,将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为bxaxxf3)(.若M（x1,y1）是三次曲线bxaxxf3)(上的任一点,设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x0,y0）,则切线方程为))((000xxxfyy,因点M上此切线上,故))((01001xxxfyy,又13110300,bxaxybxaxy,所以))(3()(0120030131xxbaxbxaxbxax,整理得：0)2()(10210xxxx,解得,10xx或210xx.综上所述,当点M是对称中心即01x时,过点M作曲线的切线切点是惟一的,且为M,故只有一条切线；当点M不是对称中心即01x时,过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线.由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．【例1】（2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期12月月考）设函数322()33fxxaxbx(1)若1a，0b，求曲线()yfx在点1,1f处的切线方程；(2)若0ab，不等式1ln1xkffxx对任意1,x恒成立，求整数k的最大值．【解析】（1）当1a，0b时，32()3fxxx，所以(1)2f，即切点为1,2P因为2()36fxxx，所以(1)363f，所以切线方程为231yx，即31yx，（2）22()363fxxaxb，由0ab，所以22363636()()0ababab，所以函数fx在R上单调递增不等式1ln1xkffxx1ln(1ln)11xkxxkxxx，对1,x恒成立，构造(1ln)()1xxhxx，22(2ln)(1)(ln)ln2()(1)(1)xxxxxxxhxxx，构造()ln2gxxx，11()1xgxxx，对1,x有()0gx，所以()ln2gxxx在1,x递增，31ln30g，42ln40g，所以0(3,4)x，000ln20gxxx，所以01,xx，()0gx，即()0hx，()hx在01,x递减，0,xx，()0gx，即()0hx，()hx在0,x递增，所以00min001ln()1xxhxhxx，结合00ln2xx，故min0()(3,4)hxx，所以(1ln)1xxkx对(1,)x恒成立min()khx，故3k，所以整数k的最大值为3；(二)三次函数的零点1.若三次函数fx没有极值点,则fx有1个零点；2.三次函数fx有2个极值点12,,xx,则120fxfx时fx有1个零点；120fxfx时fx有2个零点；120fxfx时fx有3个零点.【例2】（2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）已知函数322()432fxxmxmx,其中0m.(1)若fx的极小值为－16,求m；(2)讨论fx的零点个数.【解析】（1）由题得22()383(3)(3)fxxmxmxmxm,其中0m,当0m时,0fx,fx单调递增,fx无极值；当0m时,令0fx,解得3mx或3xm；令0fx,解得33mxm,所以fx的单调递减区间为,33mm,单调递增区间为,3m,3,m,所以当3xm时,fx取得极小值33218fmm,所以321816m,解得1m.（2）由（1）知当0m时,fx的极小值为33218fmm,fx的极大值为31420327mfm,当32180m,即333m时,fx有三个零点,如图①曲线；当32180m,即333m时,fx有两个零点,如图②曲线；当32180m,即3303m时,fx有一个零点,如图③曲线；当0m时,32fxx,易知fx有一个零点.综上,当3303m时,fx有一个零点；当333m时,fx有两个零点；当333m时,fx有三个零点.(三)过平面上一点P作三次函数图象的切线的条数此类问题一般是先设出切点Q,tft,写出曲线fx在xt处的切线方程,把点P坐标代入,整理出一个关于t的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.【例3】（2024届江苏省南通市高三上学期期初质量监测）已知函数320fxaxbxcxa的极小值为2，其导函数fx的图象经过1,0A，10B,两点.(1)求fx的解析式；(2)若曲线yfx恰有三条过点1,Pm的切线，求实数m的取值范围.【解析】（1）232fxaxbxc，因为0a，且fx的图象经过1,0A，10B,两点.所以当,1x时，()0fx¢，fx单调递增；当1,1x时，0fx，fx单调递减；当1,x时，()0fx¢，fx单调递增.所以fx在1x处取得极小值，所以12fabc，又因为10f，10f，所以320abc，320abc，解方程组3203202abcabcabc得1a，0b，3c，所以33fxxx.（2）设切点为00,xy，则30003yxx，因为()233fxx¢=-，所以20033fxx，所以切线方程为320000333yxxxxx，将1,Pm代入上式，得32002330xxm.因为曲线yfx恰有三条过点1,Pm的切线，所以方程322330xxm有三个不同实数解.记32233gxxxm，则导函数26661gxxxxx，令0gx，得0x或1.列表：x,000,111,gx+0-0+gx↗极大↘极小↗所以gx的极大值为03gm，gx的极小值为12gm，所以0010gg，解得32m.故m的取值范围是3,2.(四)含参数的三次函数的单调性的讨论求含参数的三次函数在闭区间上的最值,一般根据函数极值点与闭区间的位置关系进行讨论.【例4】（2024届内蒙古包头市高三上学期调研）已知函数3219()32fxxaxx．(1)讨论()fx的单调性；(2)若()()Fxfxx有2个零点，求a的值．（注：3322()xaxaxaxa）【解析】（1）221fxxax，241a，当0，即11a时，0fx，所以fx在R上单调递增，当0，即1a或1a时，令2210fxxax，解得211xaa，221xaa，当2,1xaa时，()0fx¢，当221,1xaaaa时，0fx，当21,xaa时，()0fx¢，所以fx在22,1,1,aaaa上单调递增，在221,1aaaa上单调递减，综上所述，当11a时，fx在R上单调递增，当1a或1a时，fx在22,1,1,aaaa上单调递增，在221,1aaaa上单调递减；（2）当0x时，9()()02Fxfxx，此时函数无零点，当0x时，0Fx等价于321932xax，设321932xgxx，hxa，则23333392733xxxxgxxx，当0x时，0gx，故gx单调递增，且,gx，当03x时，0gx，故gx单调递减，当3x时，0gx，故gx单调递增，又332g，当0x且0x时，gx，当x时，gx，如图作出函数gx的大致图象，由图可知，要使321932xgxx，hxa两个函数有两个交点，则32a，即当32a时，Fx有且只有2个零点．(五)三次函数与韦达定理的交汇由于三次函数的导数是二次函数,而二次函数常与韦达定理交汇,故有时可以用定理交汇处理三次函数问题【例5】设21,xx是函数)0(23)(22