专题05 三角函数（解析版）

学科网（北京）股份有限公司1专题05三角函数目录一览2023真题展现考向一三角函数的图象与性质考向二三角恒等变换真题考查解读近年真题对比考向一三角函数的图象与性质考向二三角恒等变换考向三同角三角函数间的基本关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一三角函数的图象与性质1．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y=12与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|=𝜋6，则f（π）＝．【答案】−√32解：由题意：设A（x1，12），B（x2，12），则x2﹣x1=𝜋6，由y＝Asin（ωx+φ）的图象可知：ωx2+φ﹣（ωx1+φ）=5𝜋6−𝜋6=2𝜋3，即ω（x2﹣x1）=2𝜋3，∴ω＝4，学科网（北京）股份有限公司2又f（2𝜋3）＝sin（8𝜋3+φ）＝0，∴8𝜋3+φ＝kπ，k∈Z，即φ=−8𝜋3+kπ，k∈Z，观察图象，可知当k＝2时，φ=−2𝜋3满足条件，∴f（π）＝sin（4π−2𝜋3）=−√32．故答案为：−√32．2．（2023•新高考Ⅰ•第15题）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．【答案】[2，3）【解答】解：x∈[0，2π]，函数的周期为2𝜋𝜔（ω＞0），cosωx﹣1＝0，可得cosωx＝1，函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，可得2⋅2𝜋𝜔≤2π＜3⋅2𝜋𝜔，所以2≤ω＜3．考向二三角恒等变换3．（2023•新高考Ⅱ•第7题）已知α为锐角，cosα=1+√54，则sin𝛼2=（）A．3−√58B．−1+√58C．3−√54D．−1+√54【答案】D解：cosα=1+√54，则cosα=1−2𝑠𝑖𝑛2𝛼2，故2𝑠𝑖𝑛2𝛼2=1﹣cosα=3−√54，即𝑠𝑖𝑛2𝛼2=3−√58=(√5)2+12−2√516=(√5−1)216，∵α为锐角，∴𝑠𝑖𝑛𝛼2＞0，∴sin𝛼2=−1+√54．4．（2023•新高考Ⅰ•第8题）已知sin（α﹣β）=13，cosαsinβ=16，则cos（2α+2β）＝（）A．79B．19C．−19D．−79【答案】B解：因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα=13，cosαsinβ=16，所以sinαcosβ=12，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα=12+16=23，则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×49=19．学科网（北京）股份有限公司3【命题意图】考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、y=Asin（wx+）的图象与性质．应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明．【考查要点】三角函数高考必考．常考查和角差角公式、恒等变形化简求值、诱导公式、同角三角函数公式，辅助角公式等．常考查y=Asin（wx+）的图象与性质，涉及到增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等．【得分要点】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（𝜋2−α）＝cosα，cos（𝜋2−α）＝sinα．公式六：sin（𝜋2+α）＝cosα，cos（𝜋2+α）＝﹣sinα．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ．（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ．（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．（5）T（α+β）：tan（α+β）=𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽1−𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽1+𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα．（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．（3）T2α：tan2α=2𝑡𝑎𝑛𝛼1−𝑡𝑎𝑛2𝛼．5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx学科网（北京）股份有限公司4图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ−𝜋2，2kπ+𝜋2）（k∈Z）；递减区间：（2kπ+𝜋2，2kπ+3𝜋2）（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ−𝜋2，kπ+𝜋2）（k∈Z）最值x＝2kπ+𝜋2（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ−𝜋2（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+𝜋2，k∈Z对称中心：（kπ+𝜋2，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（𝑘𝜋2，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ6．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤7．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A=𝑀−𝑚2，k=𝑀+𝑚2，ω由周期T确定，即学科网（北京）股份有限公司5由2𝜋𝜔=T求出，φ由特殊点确定．考向一三角函数的图象与性质1．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1B．C．D．3【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故选：A．2.（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（）A．f（x）在区间（0，）单调递减B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，所以+φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ﹣，学科网（北京）股份有限公司6因为0＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（2x+），令2x+，解得﹣＜x＜，故f（x）在（0，）单调递减，A正确；x∈（﹣，），2x+∈（，），根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣，）只有一个极值点，故B错误；令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C显然错误；f（x）＝sin（2x+），求导可得，f'（x）＝，令f'（x）＝﹣1，即，解得x＝kπ或（k∈Z），故函数y＝f（x）在点（0，）处的切线斜率为k＝，故切线方程为y﹣，即y＝，故D正确．故选：AD．3．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）【解答】解：令，k∈Z．则，k∈Z．当k＝0时，x∈[，]，（0，）⊆[，]，故选：A．考向二三角恒等变换学科网（北京）股份有限公司74．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（）A．tan（α﹣β）＝1B．tan（α+β）＝1C．tan（α﹣β）＝﹣1D．tan（α+β）＝﹣1【解答】解：解法一：因为sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）＝2cos（α+）sinβ，即sin（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ+sinβcos（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ﹣sinβcos（）＝0，所以sin（）＝0，所以＝kπ，k∈Z，所以α﹣β＝k，所以tan（α﹣β）＝﹣1．解法二：由题意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ，即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ＝0，所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0，故tan（α﹣β）＝﹣1．故选：C．考向三同角三角函数间的基本关系5．（2021•新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由题意可得：＝＝学科网（北京）股份有限公司8＝．故选：C．结合近三年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定函数部分图象，求解函数解析式。以选择题、填空题为主，分值为5~10分。一．三角函数的周期性（共3小题）1．（2023•江西模拟）已知函数，则（）A．f（x）的最小正周期是πB．f（x）在上单调递增C．f（x）的图象关于点对称D．f（x）在上的值域是【解答】解：＝，对于A，f（x）的最小正周期，A错误；对于B，当时，，此时y＝sin（4x+）单调递减，∴f（x）在上单调递增，B正确；对于C，令，解得，此时f（x）＝0，∴f（x）的图象关于点对称，C错误；对于D，当时，，则，∴f（x）在上的值域为，D错误．故选：B．学科网（北京）股份有限公司92．（2023•河东区一模）已知函数，下列说法错误的为（）A．最小正周期为B．f（x）为偶函数C．在单调递减D．【解答】解：因为函数为奇函数，故B错误；最小正周期为，故A正确；令，k∈Z，解得，k∈Z，即函数f（x）的单调减区间为，k∈Z，当k＝0时，即为，k∈Z，故C正确；且，故D正确．故选：B．3．（2023•商洛三模）记函数的最小正周期为T，且f（T）＝﹣1，若f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：因为函数的最小正周期为T＝，且f（T）＝2sin（ω×+φ）＝﹣1，所以sinφ＝﹣，所以φ＝﹣．x∈[0，π]，则ωx﹣∈[﹣，ωπ﹣]，若f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则2π≤ωπ﹣＜3π，所以≤ω＜，所以ω的取值范围为．故选：A．二．运用诱导公式化简求值（共4小题）4．（2023•南关区校级模拟）已知，，则角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限学科网（北京）股份有限公司10【解答】解：因为＝﹣sin，可得sin＝﹣，＝cos，则sinθ＝2sincos＝﹣＜0，cosθ＝2cos2﹣1＝﹣＜0，所以角θ所在的象限是第三象限．故选：C．5．（2023•抚松县校级模拟）已知tanθ＝2，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝．故选：D．6．（2023•南宁模拟）已知sin2α＝cosα﹣1，则＝（）A．1B．﹣1C．2D．【解答】解：∵sin2α＝cosα﹣1，∴1﹣cos2α＝cosα﹣1，可得cos2α+cosα﹣2＝0，解得cosα＝1（cosα＝﹣2舍）；∴＝﹣cosα＝﹣1，故选：B．7．（2023•通州区模拟）已知，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对