专题07 数列（原卷版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1专题07数列目录一览2023真题展现考向一等差数列考向二等比数列考向三数列综合真题考查解读近年真题对比考向一等差数列考向二数列递推公式考向三数列的求和考向四数列综合命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一等差数列1．（2023•新高考Ⅰ•第7题）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{𝑆𝑛𝑛}为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考向二等比数列2．（2023•新高考Ⅱ•第8题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（）A．120B．85C．﹣85D．﹣120资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】2考向三数列综合3．（2023•新高考Ⅰ•第20题）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn=𝑛2+𝑛𝑎𝑛，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通项公式；（2）若{bn}为等差数列，且S99﹣T99＝99，求d．4．（2023•新高考Ⅱ•第18题）已知{an}为等差数列，bn={𝑎𝑛−6，𝑛为奇数2𝑎𝑛，𝑛为偶数，记Sn，Tn为{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】3【命题意图】考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查等差、等比数列的性质；考查数列的求和方法，考查根据数列的递推公式求通项公式，考查数列和其他知识结合等综合知识．【考查要点】数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．【得分要点】1．解决等差、等比数列有关问题的几点注意1等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；2对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；3注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；4当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系.2．数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有：（一）公式法①等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.②等比数列的前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝a11－qn1－q，q≠1.③数列前项和重要公式：（1）（2）（3）（4）n1nkk123n2)1(nn1(21)nkk13521n2n31nkk2333)1(2121nnn21nkk)12)(1(613212222nnnn资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】4（5）等差数列中，；（6）等比数列中，.二分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.三裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.四错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn；(2)基本步骤(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误．五倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法.用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.考向一等差数列5．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（）mnmnSSSmndnmmnnmmnSSqSSqS资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】5A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9考向二数列递推公式6.（多选）（2021•新高考Ⅱ）设正整数n＝a0•20+a1•21+…+ak﹣1•2k﹣1+ak•2k，其中ai∈{0，1}，记ω（n）＝a0+a1+…+ak，则（）A．ω（2n）＝ω（n）B．ω（2n+3）＝ω（n）+1C．ω（8n+5）＝ω（4n+3）D．ω（2n﹣1）＝n考向三数列的求和7．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么Sk＝dm2．考向四数列综合8．（2021•新高考Ⅱ）记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）求使Sn＞an成立的n的最小值．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】69．（2021•新高考Ⅰ）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝（1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；（2）求{an}的前20项和．10．（2022•新高考Ⅰ）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．11．（2022•新高考Ⅱ）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．（1）证明：a1＝b1；（2）求集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的个数．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】7重点考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和，考查错位相减、裂项相消等求和方法。有时考查数列的创新问题，实际应用问题，与不等式的综合问题，考查划归与转化思想，运算求解能力。考查形式多样。一．数列的函数特性（共4小题）1．（2023•河南模拟）已知数列{an}的通项公式为，则当an最小时，n＝（）A．9B．10C．11D．122．（2023•西固区校级一模）数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝．3．（2023•南岗区校级三模）已知数列{an}的通项公式是an＝2n﹣1，记bm为{an}在区间[m，2m）（m∈N*）内项的个数，则b5＝，不等式bm+1﹣bm＞2062成立的m的最小值为．4．（2023•海淀区校级模拟）已知点列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pk（xk，yk）（k∈N*，k≥2）满足P1（1，1），与（i＝2，3，4…k）中有且只有一个成立．（1）写出满足k＝4且满足P4（3，2）的所有点列；（2）证明：对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得+＝2k；（3）当k＝2n﹣1且P2n﹣1（n，n）（n∈N*，n≥2）时，求的最大值．二．等差数列的性质（共4小题）5．（2023•安庆二模）已知等差数列{an}满足+＝4，则a2+a3不可能取的值是（）A．﹣3B．﹣2C．D．6．（2023•江西模拟）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，且成首项为0.114的等差数列，若直线OA的斜率为0.414，则该数列公差等于（）资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】8A．0.1B．0.2C．0.3D．0.47．（2023•阿拉善盟一模）已知{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，则“对任意的n∈N*且n≠3，Sn＞S3”是“a4＞a3”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充要条件8．（2023•青羊区校级模拟）下列结论中正确的是（）A．若a＞b＞0，c＜d＜0，则B．若x＞y＞0且xy＝1，则C．设{an}是等差数列，若a2＞a1＞0，则D．若x∈[0，+∞），则三．等差数列的通项公式（共3小题）9．（2023•武功县校级模拟）已知数列{an}为等差数列，a4＝2，a7＝﹣4，那么数列{an}的通项公式为（）A．an＝﹣2n+10B．an＝﹣2n+5C．an＝﹣n+10D．an＝﹣n+510．（2023•凉山州模拟）在等差数列{an}中，a2+a4＝2，a5＝3，则a9＝（）A．3B．5C．7D．911．（2023•雁塔区校级模拟）已知数列为等差数列，且a1＝1，，则a2023＝（）A．B．C．D．四．等差数列的前n项和（共2小题）12．（2023•玉树州模拟）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝44，则a4+a6+a8＝（）A．12B．13C．14D．1513．（2023•陈仓区模拟）在等差数列{an}中，a6，a18是方程x2﹣8x﹣17＝0的两个根，则{an}的前23项的资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】9和为（）A．﹣184B．﹣92C．92D．184五．等比数列的性质（共4小题）14．（2023•玉林三模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则＝（）A．12B．36C．31D．3315．（2023•河南模拟）已知数列{an}为等比数列，an＞0，n∈N*，且，则实数λ＝（）A．2B．C．3D．16．（2023•镇江三模）已知a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，且2和8为其中的两项，则a5的最小值为（）A．﹣64B．﹣16C．D．17．（2023•吴忠模拟）已知{an}是等比数列，若a3a7＝3a5，且a8＝﹣24，则a10＝（）A．96B．﹣96C．72D．﹣72六．等比数列的通项公式（共5小题）18．（2023•河南模拟）在等比数列{an}中，若a5＝2，a3a8＝a7，则{an}的公比q＝（）A．B．2C．D．419．（2023•南江县校级模拟）在等比数列{an}中，a1+a3＝2，a5+a7＝18，则a3+a5＝（）A．3B．6C．9D．1820．（2023•山西模拟）已知正项等比数列{an}满足a3﹣a1＝2，则a4+a3的最小值是（）A．4B．9C．6D．821．（2023•鼓楼区校级模拟）已知等比数列{an}满足，则a1+a3＝（）A．B．C．D．322．（2023•鼓楼区校级模拟）英国数学家亚历山大•艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位．一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列．八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列．