专题09 立体几何初步（原卷版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题09立体几何初步目录一览2023真题展现考向一立体几何的体积考向二外接球与内切球考向三空间角真题考查解读近年真题对比考向一旋转体考向二立体几何的体积考向三外接球与内切球考向四球体的表面积考向五空间角考点六直线与平面的位置关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一立体几何的体积1．（2023•新高考Ⅱ•第14题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．2．（2023•新高考Ⅰ•第14题）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1=√2，则该棱台的体积为．考向二外接球与内切球3．（2023•新高考Ⅰ•第12题）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体考向三空间角4．（2023•新高考Ⅱ•第9题）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（）A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为4√3πC．AC＝2√2D．△PAC的面积为√3【命题意图】考查空间几何体的表面积与体积、外接球问题、空间角等．【考查要点】命题会涉及到体积，表面积，角度等计算，涉及到最值计算，范围求取，考查空间想象力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想、逻辑推理能力．【得分要点】1．表面积与体积公式（1）棱柱的体积公式：设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．（2）棱锥的体积公式：设棱锥的底面积为S，高为h，V棱锥=13Sh．（3）棱台的体积公式：设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，V棱台=13×(𝑆+𝑆′+√𝑆×𝑆′)×ℎ．（4）圆柱的体积和表面积公式：设圆柱底面的半径为r，高为h(母线长𝑙)，则{𝑉圆柱=𝜋𝑟2ℎ𝑆圆柱=2×𝜋𝑟2+2𝜋𝑟𝑙=2𝜋𝑟(𝑟+𝑙)．（5）圆锥的体积和表面积公式：设圆锥的底面半径为r，高为h(母线长𝑙)，母线长为l：{𝑉圆锥=13𝜋𝑟2ℎ𝑆圆锥=𝜋𝑟2+𝜋𝑟𝑙=𝜋𝑟(𝑟+𝑙)．（6）圆台的体积和表面积公式：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：{𝑉圆台=13𝜋ℎ(𝑟2+𝑅2+𝑅𝑟)𝑆圆台=𝜋𝑟2+𝜋𝑅2+𝜋𝑟𝑙+𝜋𝑅𝑙=𝜋(𝑟2+𝑅2+𝑟𝑙+𝑅𝑙)．（7）球的体积和表面积：设球体的半径为R，V球体=43𝜋𝑅3，S球体＝4πR2．2．外接球题型归类：资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）三线垂直图形计算公式：三棱锥三线垂直还原成长方体2222a+b+cR（2）由长方体（正方体）图形的特殊性质，可以构造如下三种模型：①三棱锥对棱相等．22222222mnlRabc，m，n，l是三个对棱棱长．②等边三角形与等腰直角三角形连接．③投影为矩形．（3）线面垂直型：线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）．计算公式222PCRr；其中2sinCDrA（4）面面垂直型一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（5）垂线相交型等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心．直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心．许多情况下，会和二面角结合．3．直线和平面所成的角：一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作：作出斜线与射影所成的角．（2）证：论证所作（或找到的）角就是要求的角．（3）算：常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答：回答求解问题．4．线面角的求解方法：传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．向量求法：设直线l的方向向量为𝑎→，平面的法向量为𝑢→，直线与平面所成的角为θ，𝑎→与𝑢→的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|=|𝑎→⋅𝑢→||𝑎→||𝑢→|．5．二面角的平面角求法：（1）定义法．（2）三垂线定理及其逆定理．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．（4）平移或延长（展）线（面）法．（5）射影公式．（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角．（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为𝑢→和𝑣→，若两个平面的夹角为θ，则①当0≤＜𝑢→，𝑣→＞≤𝜋2，θ=＜𝑢→，𝑣→＞，cosθ＝cos＜𝑢→，𝑣→＞=𝑢→⋅𝑣→|𝑢→||𝑣→|．②当𝜋2＜＜𝑢→，𝑣→＞＜π时，cosθ＝﹣cos＜𝑢→，𝑣→＞=−𝑢→⋅𝑣→|𝑢→||𝑣→|．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向一旋转体5．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．4考向二立体几何的体积5．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m36．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20+12B．28C．D．7.（多选）（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC，F﹣ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（）A．V3＝2V2B．V3＝V1C．V3＝V1+V2D．2V3＝3V18.（多选）（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P考向三外接球与内切球9．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]10．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π考向四球体的表面积11．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，该卫星信号覆盖地球表面的表面积S＝2πr2（1﹣cosα）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（）A．26%B．34%C．42%D．50%考向五空间角12.（多选）（2022•新高考Ⅰ）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°考点六直线与平面的位置关系13.（多选）（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是（）A．B．C．D．本章内容是高考必考内容之一，多考查空间几何体的表面积与体积，空间中有关平行与垂直的判定，空间角等问题。资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】高考对本章内容的考查比较稳定，针对这一特点，复习时，首先梳理本章重要定理、公式与常用结论，扫清基础知识和公式障碍；然后分题型重点复习，重视立体几何表面积与体积、内接球与外切球、空间角的解题思路。一．棱柱的结构特征（共2小题）1．（2023•盐亭县校级模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，以A为球心，为半径的球被该正方体的表面所截，则所截得的曲线总长为．2.（多选）（2023•晋江市校级模拟）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，点D是线段BC1上的动点（不含端点），则以下正确的是（）A．AC∥平面A1BDB．CD与AC1不垂直C．∠ADC的取值范围为D．AD+DC的最小值为二．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共1小题）3．（2023•河南模拟）已知圆台O1O的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面α经过圆台O1O的两条母线，设α截此圆台所得的截面面积为S，则（）A．当h≥R﹣r时，S的最大值为（R+2r）hB．当h≥R﹣r时，S的最大值为C．当h＜R﹣r时，S的最大值为（R+2r）hD．当h＜R﹣r时，S的最大值为三．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共3小题）4．（2023•南通三模）已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（）A．B．C．D．5．（2023•安阳二模）2022年12月7日为该年第21个节气“大雪”．“大雪”标志着仲冬时节正式开始，该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷．“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等．东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对它进行切割，制作一个正六棱柱模型ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1，设M为B1E1的中点，当削去的雪最少时，平面ACM截该正六棱柱所得的截面面积为平方分米．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．（2023•皇姑区校级模拟）用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体形礼品盒完全包好，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是．四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共13小题）7．（2023•郑州模拟）陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为（）A．B．C．D．8．（2023•宁夏三模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F（E在F的左边），且EF＝．下列说法不正确的是（）A．异面直线AB1与BC1所成角为60°B．当E运动时，平面EFA⊥平面ACC1A1C．当E，F运动时，存在点E，F使得AE∥BFD．当E，F运动时，三棱锥体积B﹣AEF不变9．（2023•新罗区校级三模）已知正六棱锥P﹣ABCDEF的各顶点都在球O的球面上，球心O在该正六棱锥的内部，若球O的体积为36π，则该正六棱锥体积的最大