专题10 立体几何综合（解析版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1专题10立体几何综合目录一览2023真题展现考向一求二面角考向二求距离真题考查解读近年真题对比考向一求三棱锥体积考向二求二面角命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一求二面角1．（2023•新高考Ⅱ•第20题）如图，三棱锥A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC中点．（1）证明BC⊥DA；（2）点F满足𝐸𝐹→=𝐷𝐴→，求二面角D﹣AB﹣F的正弦值．证明：（1）连接AE，DE，∵DB＝DC，E为BC中点．∴DE⊥BC，又∵DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】2∴△ACD与△ABD均为等边三角形，∴AC＝AB，∴AE⊥BC，AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE，∵AD⊂平面ADE，∴BC⊥DA．（2）解：设DA＝DB＝DC＝2，∴𝐵𝐶=2√2，∵𝐷𝐸=𝐴𝐸=√2，AD＝2，∴AE2+DE2＝4＝AD2，∴AE⊥DE，又∵AE⊥BC，DE∩BC＝E，∴AE⊥平面BCD，以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，𝐷(√2，0，0)，𝐴(0，0，√2)，𝐵(0，√2，0)，E（0，0，0），∵𝐸𝐹→=𝐷𝐴→，∴𝐹(−√2，0，√2)，∴𝐷𝐴→=(−√2，0，√2)，𝐴𝐵→=(0，√2，−√2)，𝐴𝐹→=(−√2，0，0)，设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为𝑛1→=(𝑥1，𝑦1，𝑧1)，𝑛2→=(𝑥2，𝑦2，𝑧2)，则{−√2𝑥1+√2𝑧1=0√2𝑦1−√2𝑧1=0，令x1＝1，解得y1＝z1＝1，{√2𝑦2−√2𝑧2=0−√2𝑥2=0，令y2＝1，解得x2＝0，z2＝1，故𝑛1→=（1，1，1），𝑛2→=（0，1，1），设二面角D﹣AB﹣F的平面角为θ，则|cosθ|=|𝑛1→⋅𝑛2→||𝑛1→||𝑛2→|=2√3×√2=√63，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】3故sinθ=√33，所以二面角D﹣AB﹣F的正弦值为√33．考向二求距离2．（2023•新高考Ⅰ•第18题）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．（1）证明：B2C2∥A2D2；（2）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P．解：（1）证明：根据题意建系如图，则有：B2（0，2，2），C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2），∴𝐵2𝐶2→=(0，−2，1)，𝐴2𝐷2→=(0，−2，1)，∴𝐵2𝐶2→=𝐴2𝐷2→，又B2，C2，A2，D2四点不共线，∴B2C2∥A2D2；（2）在（1）的坐标系下，可设P（0，2，t），t∈[0，4]，又由（1）知C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2），∴𝐶2𝐴2→=(2，2，−2)，𝐶2𝑃→=(0，2，𝑡−3)，𝐴2𝐷2→=(0，−2，1)，设平面PA2C2的法向量为𝑚→=(𝑥，𝑦，𝑧)，则{𝑚→⋅𝐶2𝐴2→=2𝑥+2𝑦−2𝑧=0𝑚→⋅𝐶2𝑃→=2𝑦+(𝑡−3)𝑧=0，取𝑚→=(𝑡−1，3−𝑡，2)，设平面A2C2D2的法向量为𝑛→=(𝑎，𝑏，𝑐)，则{𝑛→⋅𝐶2𝐴2→=2𝑎+2𝑏−2𝑐=0𝑛→⋅𝐴2𝐷2→=−2𝑏+𝑐=0，取𝑛→=(1，1，2)，∴根据题意可得|cos150°|＝|cos＜𝑚→，𝑛→＞|=|𝑚→⋅𝑛→||𝑚→||𝑛→|，∴√32=6√(𝑡−1)2+(3−𝑡)2+4×√6，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】4∴t2﹣4t+3＝0，又t∈[0，4]，∴解得t＝1或t＝3，∴P为B1B2的中点或B2B的中点，∴B2P＝1．【命题意图】考查线面平行与垂直、空间几何体的表面积与体积、空间角等．【考查要点】命题会涉及到线面平行与垂直的证明，等体积法求空间几何体的体积，空间向量法求空间距离、空间角，考查空间想象力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想．【得分要点】1．直线与平面平行（1）直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．（2）直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2．直线与平面垂直（1）直线与平面垂直的定义：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．（2）直线与平面垂直的判定：定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】5判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．（3）直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．3．二面角的平面角求法：（1）定义法．（2）三垂线定理及其逆定理．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．（4）平移或延长（展）线（面）法．（5）射影公式．（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角．（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为𝑢→和𝑣→，若两个平面的夹角为θ，则①当0≤＜𝑢→，𝑣→＞≤𝜋2，θ=＜𝑢→，𝑣→＞，cosθ＝cos＜𝑢→，𝑣→＞=𝑢→⋅𝑣→|𝑢→||𝑣→|．②当𝜋2＜＜𝑢→，𝑣→＞＜π时，cosθ＝﹣cos＜𝑢→，𝑣→＞=−𝑢→⋅𝑣→|𝑢→||𝑣→|考向一求三棱锥体积3．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．（1）证明：OA⊥CD；（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，求三棱锥A﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD；资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】6（2）方法一：取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，过O作OM∥CF与BC交于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B（0，﹣1，0），，D（0，1，0），设A（0，0，t），则，因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为，设平面BCE的法向量为，又，所以由，得，令x＝，则y＝﹣1，，故，因为二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，所以，解得t＝1，所以OA＝1，又，所以，故＝．方法二：过E作EF⊥BD，交BD于点F，过F作FG⊥BC于点G，连结EG，由题意可知，EF∥AO，又AO⊥平面BCD1所以EF⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，所以EF⊥BC，又BC⊥FG，FG∩EF＝F所以BC⊥平面EFG，又EG⊂平面EFG，所以BC⊥EG，则∠EGF为二面角E﹣BC﹣D的平面角，即∠EGF＝45°，又CD＝DO＝OB＝OC＝1，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】7所以∠BOC＝120°，则∠OCB＝∠OBC＝30°，故∠BCD＝90°，所以FG∥CD，因为，则，所以，则，所以EF＝GF＝，则，所以．考向二求二面角4．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】8【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，可得＝＝，设A到平面A1BC的距离为d，由＝，∴•d＝，∴×2•d＝，解得d＝．（2）连接AB1交A1B于点E，∵AA1＝AB，∴四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB1＝B1，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA1＝AB，∴BC×AB×＝2，又AB×BC×AA1＝4，解得AB＝BC＝AA1＝2，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），则＝（0，2，0），＝（1，1，1），＝（2，0，0），设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，∴平面ABD的一个法向量为＝（1，0，﹣1），设平面BCD的一个法向量为＝（a，b，c），，令b＝1，则a＝0，c＝﹣1，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】9平面BCD的一个法向量为＝（0，1，﹣1），cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为＝．5．（2022•新高考Ⅱ）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．（1）证明：OE∥平面PAC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．【解答】解：（1）证明：连接OA，OB，依题意，OP⊥平面ABC，又OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，则OP⊥OA，OP⊥OB，∴∠POA＝∠POB＝90°，又PA＝PB，OP＝OP，则△POA≌△POB，∴OA＝OB，延长BO交AC于点F，又AB⊥AC，则在Rt△ABF中，O为BF中点，连接PF，在△PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则OE∥PF，∵OE⊄平面PAC，PF⊂平面PAC，∴OE∥平面PAC；（2）过点A作AM∥OP，以AB，AC，AM分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PO＝3，PA＝5，由（1）知OA＝OB＝4，又∠ABO＝∠CBO＝30°，则，∴，又AC＝ABtan60°＝12，即C（0，12，0），设平面AEB的一个法向量为，又，则，则可取，设平面AEC的一个法向量为，又，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】10则，则可取，设锐二面角C﹣AE﹣B的平面角为θ，则，∴，即二面角C﹣AE﹣B正弦值为．6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3．（Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：△QCD中，CD＝AD＝2，QD＝，QC＝3，所以CD2+QD2＝QC2，所以CD⊥QD；又CD⊥AD，AD∩QD＝D，AD⊂平面QAD，QD⊂平面QAD，所以CD⊥平面QAD；又CD⊂平面ABCD，所以平面QAD⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：取AD的中点O，在平面ABCD内作Ox⊥AD，以OD所在直线为y轴，OQ所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：则O（0，0，0），B（2，﹣1，0），D（0，1，0），Q（0，0，2），因为Ox⊥平面ADQ，所以平面ADQ的一个法向量为＝（1，0，0），设平面BDQ的一个法向量为